Hilfe bei gleichmäßig stetigen Funktionen f(x)=(x²-1)/(x+1) und f(x)=x^7

Question

Welche der folgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig ?

wäre auch über Erklärungen dazu sehr dankbar

 

a) f(x) := (x²-1)/(x+1), D(f) := [2,3]

b) f(x) := x⁷, D(f) := [-2,5]

a) f(x) := x⁷ , D(f) := (-2,5)

a) f(x) := x⁷ D(f) := (a,b) , a,b ∈ ℝ

Comments

Gilt hier nicht bei allen Funktionen der Satz von Heine, sodass alle Funktionen im Intervall sowohl stetig als auch gleichmäßig stetig sind?

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Heine

Answer 1

Richtig ist, dass die ersten beiden Funktionen nach dem Satz von Heine in den jeweiligen Intervallen gleichmäßig stetig sind. Der Satz von Heine gilt aber nur für kompakte Mengen (also abgeschlossen und beschränkte).

Insbesondere ist die Funktion aus (a) auf dem gegebenen Intervall stetig, weil sie auf dem gegebenen Intervall eine Verkettung stetiger Funktionen ist. Da die Nennerfunktion im Intervall keine Nullstelle besitzt, ist also auch der Quotient stetig, damit nach dem Satz von Heine gleichmäßig stetig.

Die Intervalle aus (c) und (d) sind aber offen.

Hier ist entscheidend, dass die gegebene Funktion stetig auf den Rand der Intervalle erweitert werden kann, sodass sie jeweils auch auf dem entsprechenden abgeschlossenen Intervall stetig ist und somit nach dem Satz von Heine gleichmäßig stetig auf dem kompakten Intervall und auf jeder Teilmenge ist.

Wichtig ist aber: das gilt nicht mehr für a oder b gegen Unendlich, dann ist die Funktion nicht mehr gleichmäßig stetig.