Berechne die Oberfläche des Kegels, der so hoch ist wie die Pyramide

Question

Die Abbildung zeigt den Diagonalschnitt einer quadratischen Pyramide. Es gilt: s = 17 cm

Ein Kegel ist gleich hoch wie die Pyramide. Die Rauminhalte beider Körper sind ebenfalls gleich groß.

Berechne die Oberfläche des Kegels.

Answer 1

Das Volumen V_P einer Pyramide berechnet man mit der Formel:

V_P = ( 1 / 3 ) * G_P * h_P

das Volumen V_K eines Kegels mit der Formel:

V_K = ( 1 / 3 ) * G_K * h_K

Dabei ist G_P bzw. G_K der Inhalt der Grundfläche der Pyramide bzw. des Kegels.

Beide Volumina sollen gleich sein und auch die beiden Höhen sollen gleich sein ( h := h_p= h_K).
Es soll also gelten:

( 1 / 3 ) * G_P * h = ( 1 / 3 ) * G_K * h

<=> G_P = G_K

Das bedeutet also, dass auch die Grundflächeninhalte beider Körper gleich sein müssen.

Berechnung des Grundflächeninhaltes G_P = G_K und der Körperhöhe h = h_P = h_K:

Der Diagonalschnitt durch eine quadratische Pyramide ist im Allgemeinen ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Basis die Diagonale des Grundflächenquadrates und dessen Schenkel die Seitenkanten s der Pyramide sind. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel gleich groß.

Da vorliegend der Winkel, der der Basis gegenüber liegt, 60 ° beträgt,  müssen die beiden Basiswinkel ebenfalls jeweils 60 ° groß sein. Man hat also hier sogar ein gleichseitiges Dreieck, dessen Basis folglich ebenfalls die Länge s hat.

Dies ist, wie bereits ausgeführt, auch die Länge der Diagonalen des Grundflächenquadrates und somit gilt für die Seitenlänge a des Grundflächenquadrates:

s = a * √ 2 = 17 cm

<=> a = 17 / √ 2 = 12,0 cm (gerundet)

Der Grundflächeninhalt G_P der Pyramide und auch des Kegels ist somit:

G_P = G_K = a ² = 144 cm ²

Für die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge s = 17 cm gilt (Pythagoras):

h ² +  ( s / 2 ) ² = s ²

<=> h = √ ( s ² - ( s / 2 ) ² ) = √ ( 17 ² - 8,5 ² ) = 14,7 cm (gerundet)

Berechnung des Oberflächeninhaltes des Kegels:

Der Oberflächeninhalt O_K eines Kegels setzt sich zusammen aus dem Grundflächeninhalt G_K seines Grundkreises  und dem Flächeninhalt M_K seines Mantels, also:

O_K = G_K + M_K

G_K = 144 cm ² ist bereits bekannt.

Für den Mantelflächeninhalt des Kegels gilt:

M_K = π * r * m

dabei ist:

r :der Radius des Grundflächenkreises des Kegels und

m : die Länge der Mantellinie des Kegels.

Es gilt:

r = √ ( G_K / π ) = √ ( 144 / π ) = 6,77 cm (gerundet)

und (nach Pythagoras):

m ² = r ² + h ²

<=> m = √ ( r ² + h ² ) = √ ( 6,77 ² +  14,7 ² ) = 16,2 cm (gerundet).

Also:

M_K = π * r * m = π * 6,77 * 16,2 = 344,55 cm ²

und damit:

O_K = G_K + M_K = 144 cm ² + 344,55 = 488,55 cm ²

Answer 2

Die Grundseite a berechnen

sin 30° =( a/2 ) / 17                   a= 17

allerdings läßßt der winkel von 60° die Annahme zu, dass es sich bei dem Querschnitt um ein gleichseitiges Dreieck handel, dann  ist die Grundseite a= 17

h= √(17²-8,5²)       h =14,72243

Volumen der Pyramide

V= 1/3 a² *h  =1418,2609cm³

Volumen Kegel

V= 1/3 *G *h             und G = π*r²  Werte von oben einsetzen  und nach r auflösen,
O= π (r²+r*s)

Comments

Volumen der Pyramide
V= 1/3 a² *h  =1418,2609cm³

Prüfe die Formel. Bedenke: Es handelte sich um einen Diagonalschnitt. a ist also die Länge der Diagonalen des Grundflächenquadrats der Pyramide, nicht dessen Seitenlänge.

Volumen Kegel
V= 1/3 *r² *h   

Prüfe die Formel. Da der Kegel eine kreisförmige Grundfläche hat, muss in seiner Volumenformel ein π auftreten.