Probleme bei Ungleichung

Question

Die Aufgabe lautet:

Zeige, dass

\( \frac{1}{4} \) • ln(1+\( (x+1)^{4} \)) ≤ 2 • ln(x)

für x ≥ 2 gilt.

Ich habe bereits folgendes versucht:

\( \frac{1}{4} \) • ln(1+\( (x+1)^{4} \) ≤ 2 • ln(x)  / • 4

ln(1+\( (x+1)^{4} \) ≤ 8 • ln(x) / e

\( e^{ln(1+(x+1)^{4})} \) ≤ \( e^{8 • ln(x)} \)

→ 1+\( (x+1)^{4} \) ≤ \( x^{8} \)

aber diese Ungleichung kann ich nicht weiter nachweisen.

Ist dies überhaupt mein richtiger Ansatz? Über Hilfe bin ich sehr dankbar :)

Answer 1

Hallo

a) zeige deine letzte Ungleichung indem du die linke Seite ausmultiplizierst  und dann für x>2  nach oben abschätzt.

b) ohne deine Umformung, zeige dass die Ungleichung für x=2 erfüllt ist und die Ableitung der linken Seite immer kleiner als die der rechten ist.

Gruß lul

Answer 2

\( \frac{1}{4} \cdot \ln \left[1+(x+1)^{4}\right] \leq 2 \cdot \ln x \)
\( \ln \left\{\left[1+(x+1)^{4}\right]^{\frac{1}{4}}\right\} \leq \ln \left(x^{2}\right) \)
\( \left[1+(x+1)^{4}\right]^{\frac{1}{4}} \leq x^{2} \)
Für \( x=2 \)
\( \left[1+(2+1)^{4}\right]^{\frac{1}{4}} \leq\left(2^{2}\right) \)
\( [82]^{\frac{1}{4}}<4 \)
\( 3,009<4 \) stimmt
Für \( x=3 \)
\( \left[1+(3+1)^{4}\right]^{\frac{1}{4}} \leq\left(3^{2}\right) \)
\( [257]^{\frac{1}{4}}<9 \)
\( 4,003<9 \) stimmt
Der Unterschied wir immer größer.

Answer 3

1 + ( 1 + x)^4 >= x^8
1 + ( 1 + x)^4 - x^8  >= 0
Der Einfachheit halber
1 + ( 1 + x)^4 - x^8  = 0
Newtonsches Näherungsverfahren
x = 1.6241

Answer 4

Du willst die Ungleichung \(x^8-(x+1)^4\ge1\) für \(x\ge2\) nachweisen.
Diese ist offenbar äquivalent zu
\((x+2)^8-(x+3)^4\ge1\) für \(x\ge0\).
Ausmultiplizieren liefert
\(x^8+16x^7+112x^6+448x^5+1119x^4+1780x^3+1738x^2+916x+175\ge1\).
Letztere Ungleichung gilt offensichtlich für alle \(x\ge0\). Damit ist die ursprüngliche Aussage gezeigt.