Berechne das Volumen von M = { \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ∈ℝ^3 | |z| ≤ 3 und x^2 + y^2 + z^2 ≤1}

Question

Aufgabe:

Berechne das Volumen von M = {\( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ∈ℝ^3 | |z| ≤ 3 und x^2 + y^2 - z^2 ≤1}

Hinweis: Polarkoordinaten in der xy-Ebene sind Hilfreich

Problem/Ansatz:

Meine Frage ist ob meine Lösung richtig ist

\( \int\limits_{-3}^{3} \) \( \int\limits_{0}^{π} \) \( \int\limits_{0}^{1 + z^2} \) r dr dθ dz = ....

Also sind die Grenzen richtig bzw. den Integral? oder habe ich die Aufgabe falsch verstanden?

Danke

Comments

Die Grenzen sind falsch. Überlege noch einmal welche Werte \( \theta \) annehmen kann. Außerdem ist \( x^2 + y^2 = r^2 \), das solltest du auch noch berücksichtigen.

dV = dx dy dz = r dr dθ dz ist korrekt.

---

Stimmt, die Wurzel habe ich vergessen, Danke

Answer 1

Aloha :)

Wegen \(|z|\le3\) ist klar, dass \(z\in[-3;3]\).

Wenn du nun ein \(z\) beliebig gewählt hast, bleibt als Bedingung \(x^2+y^2\le1+z^2\). Diese lautet in Polarkoordinaten \(r^2\le1+z^2\). Du kannst also noch \(r\in[0;\sqrt{1+z^2}]\) wählen.

Der Polarwinkel \(\varphi\) muss einen vollständigen Kreis abdecken, also \(\varphi\in[0;2\pi]\).

Das gesuchte Volumen ist daher:

$$V=\int\limits_{z=-3}^3\;\,\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{\sqrt{1+z^2}}r\,dr\,d\varphi\,dz=\cdots=24\pi$$

Wenn du bei der Rechnung Hilfe brauchst, bitte einfach nochmal melden.

Comments

Oh die Wurzel habe ich vergessen ... Danke sehr