Sind meine folgenden Antworten richtig?

Question

Aufgabe: Gebe an, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.

(1) Die Relation auf der Menge der Ortschaften O definiert durch {(x,y) € O² | x ist mindestens so weit von Frankfurt entfernt wie y} ist eine Ordnungsrelation.

(2) Für alle Mengen M, N und P gilt (M∪N) \P = (M\P) ∩ (N\P)

(3) Falls \( \sqrt{x+y} \)  = \( \sqrt{x} \) + \( \sqrt{y} \) für alle x,y € ℝ^>=0, so gilt (a+b)^2 = a² + b² für alle a,b € ℝ.

(4) Eine Funktion f: M -> N ist genau dann injektiv, wenn die Gleichung f(x) = y für höchstens ein x ∈ M eine Lösung besitzt.

(5) Falls ein abzählbar unendlich langer und breiter Bus mit abzählbar unendlich vielen Stöcken vor dem voll belegten Hotel Hilbert ankommt, so können alle Passagiere im Hotel untergebracht werden.

(6) Falls M überabzählbar und N abzählbar ist, so ist M \ N überabzählbar.

(7) Es gilt

\( \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 5^k= \sum\limits_{k=0}^{n} \binom{n}{k}  2^k 4^{n-k} \) für alle n ∈ℕ.

(8) Für alle Zahlenfolgen (a_n) und für alle n ∈ℕ gilt \(\prod\limits_{k=0}^n{7 a_k} =7 \prod\limits_{k=0}^{n}{ a_k} \)
Problem/Ansatz: Sind meine folgenden Antworten richtig?

(1) Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt Ordnungsrelation. Das heißt ja dann, dass die Relation reflexiv ist, denn x ist mindestens so weit von Frankfurt entfernt wie x. Sie wäre auch symmetrisch, denn x ist mindestens so ewit von Frankfurt entfernt wie y, und y ist mindestens so weit von Frankfurt entfernt wie y. Hier könnte man dann aufhören, denn die Relation wäre symmetrisch und nicht antisymmetrisch, iwe bei einer Ordnungsrelation gefordert. Also wäre die Aussage falsch.

(2) M ∪ N wäre im Venn-Diagramm so dargstellt, dass die Mengen M und N inklusive Schnittmenge, alles ausgefüllt wären. Das ohne P (\P) wäre einfach M ∪ N. Aber M\P wäre M, und N\P wäre N. Und M ∩ N != M ∪ N, also wäre diese Aussage falsch.

(3) Es handelt sich ja um eine Implikation. Die Prämisse ist zwar wahr, da es diees Wurzelgesetz für x,y > 0 gibt, aber die Implikation ist falsch, denn für a = b = 2 gilt (2+2)² = 16 != 4 +4 = 8. Also wäre die gesamte Aussage falsch, denn wahr -> falsch = falsch.

(4) Diese Aussage ist falsch, denn sie müsste heißen: Eine Funktion f: M -> N ist genau dann injektiv, wenn die Gleichung f(x) = y für höchstens ein y ∈ M eine Lösung besitzt.

(5) Das wäre wahr, oder? Weil wenn beide Elemente (Bus und Stöcke) abzählbar sind, können sie abgezählt werden. Andererseits kann ein unendlch langer und breiter Bus nicht abzählbar sein, genau so wenig wie unendlich viele Stöcke abzählbar sein können. Wie löse ich dieses Rätsel?

(6) Müsste wahr sein, da ja M\N nichts anderes als M ist und M ist ja überabzählbar.

(7) Keine Ahnung wie man die rechte Seite umstellen könnte, um auf die linke Seite zu gelangen. ich würde auf eine falsche Aussage tippen.

(8) Würde ich auf wahr tippen, denn ich erinnere mich aus der Analysis daran, dass man Konstanten so rausziehen konnte. Oder ging das nur beim Summenzeichen? Edit: ah, dann muss man den konstanten Fakor aber noch hoch n rechnen. Also wäre diese Aussage falsch.

Answer 1

x ist mindestens so ewit von Frankfurt entfernt wie y

Hamburg ist mindestens so weit von Frankfurt entfernt, wie Köln.

Für Symmetrie müsste jetzt gelten, dass Köln mindestens so weit von Frankfurt entfernt ist, wie Hamburg.

Ich könnte mir allerdings vorstellen, dass die Antisymmetrie verletzt ist.

denn die Relation wäre symmetrisch und nicht antisymmetrisch,

Symmetrie und Antisymmetrie schließen sich nicht gegenseitig aus.

(2) ... also wäre diese Aussage falsch.

Das ist korrekt. Die einfachste Möglichkeit, das zu begründen ist wohl, konkrete Mengen \(M\), \(N\) und \(P\) anzugeben, so dass

        \((M\cup N) \setminus P \neq (M\setminus P) \cap (N\setminus P)\)

ist.

Die Prämisse ist zwar wahr, da es diees Wurzelgesetz für x,y > 0 gibt,

Also \(\sqrt{2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1+1=2\)?

wenn die Gleichung f(x) = y für höchstens ein y ∈ M eine Lösung besitzt.

Sei \(f(x) = 2x+1\). Es sollte bekannt sein, dass \(f\) injektiv ist.

Die Gleichung \(2x+1 = y\) hat sowohl für \(y=0\), als auch für \(y = 1\) eine Lösung.

(5) Falls ein abzählbar unendlich langer und breiter Bus mit abzählbar unendlich vielen Stöcken

Mit viel gutem Willen erkenne ich da einen Bus mit abzählbar unendlich vielen Stockwerken in denen sich jeweils abzählbar unendlich viele Sitzreihen mit jeweils abzählbar unendlich vielen Sitzen befinden. Und jede Person im Bus sitzt alleine auf genau einem Sitzplatz.

Mit Cantors zweiten Diagonalargument mach man daraus einen Bus in dem jede Sitzreihe nur noch einen Sitzplatz hat.

Mit Cantors zweiten Diagonalargument mach man daraus einen Bus mit nur noch einem Stockwerk.

Also sitzen in dem Bus nur abzählbar viele Personen.

da ja M\N nichts anderes als M ist

Du meinst \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} = \mathbb{R}\)? Dass kann nicht sein, weil \(0\notin \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) aber \(0\in \mathbb{R}\).

Stattdessen: Sei \(N\) abzählbar. Angenommen \(M\setminus N\) ist abzählbar . Dann ist \((M\setminus N) \cup N\) abzählbar. Wegen \((M\setminus N) \cup N \subseteq M\) ist dann auch \(M\) abzählbar.

Comments

Danke dir für deine ausführliche Antwort!

Zur (1): Antisymmetrie ist ja eine Einbahnstraße. Das heißt, dass wenn es eine Relation gibt: "Hamburg ist mindestens so weit von Frankfurt entfernt, wie Köln" und "Köln ist mindestens so weit von Frankurt entfernt, wie Hamburg" , dann gilt die Symmetrie. Die Antisymmetrie besagt ja, dass wenn es eben diese beiden Relationen gibt, a = b sein muss, bzw. Hamburg = Köln, was aber nicht wahr ist. Somit wäre die Antisymmetrie, wie du schon sagst, verletzt.

(2) Das heißt, ich könnte einfach z.B. für M = {1,2,3}, N = {4,5} und P = {2,7} wählen und zeigen, dass M ∪ N = {1,2,3,4,5}, (M ∪ N) \ P = {1,2,3,4,5} \ {2,7} = {1,3,4,5}. Und auf der anderen Seite: (M\P) = {1,2,3,4,5} \ {2,7} = {1,3,4,5}. (N\P) = {4,5} \ {2,7} = {4,5}.

(M\P) ∩ (N\P) = {1,3,4,5} ∩ {4,5} = {4,5} != (M ∪ N) \ P = {1,3,4,5}.

(3) Upsala, dieses Beispiel sollte ich mir einprägen. Aber wenn die Prämisse falsch ist, und die Inklusion falsch, dann ist die gesamte Aussage doch wahr, oder? Und somit wäre die Aussage trotzdem wahr, oder?

Oder darf ich hier diese Wahrheitstafel (wahr wahr, falsch falsch, wahr falsch, falsch war) hier nicht anwenden, also es quasi nicht in eine Implikation umwandeln?

(4): Also wäre hier meine Antwort richtig, dass die Aussage falsch ist, und da ein y hinmuss, damit die Aussage wahr wird, oder?

Answer 2

Hallo,

ich habe (7) editiert. Beide Seiten ergeben 10^n.

Es ist also eine richtige Aussage.

:-)