Question

Man bestimme alle endlichen Gruppen G, die keine echten Untergruppen U besitzen. (Die trivialen Untergruppen, also G und {1_G}, sind keine echten Untergruppen.)

Comments

Gruppen ohne echte Untergruppen müssen zyklisch sein. Endliche zyklische Gruppen sind isomorph zu ℤ/nℤ.

Falls n = p*q zusammengesetzt ist existieren Untergruppen. Also muss n eine Primzahl sein.

Zeige im Umkehrschluss dass für alle Primzahlen p die Gruppe ℤ/pℤ keine echten Untergruppen hat.

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Hm...,

also angenommen U ist eine Untergruppe von G, so ist |U| ein Teiler von p, also |U| = 1 oder |U| = p. Dies zeigt U = {e} bzw. U = {1_G} oder U = G. Wähle nun 1_G ≠ g ∈ G. Es folgt <g> ≠ {1_G}, also <g> = G.

Demnach gilt für alle Primzahlen p, dass die endliche Gruppe G keine echten Untergruppen hat?

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Sei G eine Gruppe mit |G| = p für eine Primzahl p.

also angenommen U ist eine Untergruppe von G, so ist |U| ein Teiler von p, also |U| = 1 oder |U| = p. Dies zeigt U = {e} bzw. U = {1G} oder U = G.

Damit hast du gezeigt. Dass Gruppen mit Primzahl-Ordnung nur die trivialen UGen besitzen

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Sei umgekehrt G eine Gruppe ohne echte UGs:

Wähle nun 1G ≠ g ∈ G. Es folgt <g> ≠ {1G}, also <g> = G.

Damit hast du bisher gezeigt, dass G zyklisch sein muss. Da |G| endlich ist, ist somit |G| ≅ ℤ/|G|ℤ. Das kommt aus der Klassifizierung der zyklischen Gruppen. (Falls G unendlich wäre, würde G≅ℤ gelten). Das kannst du dir durch Angabe eines Isomorphismus einfach kurz überlegen.

Noch nicht gezeigt wurde bisher aber, dass G Primzahl-Ordnung haben muss.

Das könntest du so machen. Angenommen |G| = p*q für Zahlen p, q > 1.

... (selbst einfügen)

Dann hat ℤ/|G|ℤ = ℤ/pqℤ nichttriviale UGen und somit wegen der Isomorphie auch G. Widerspruch. Also muss G Primzahl-Ordnung besitzen.

Answer 1

Einer der Sylowsätze gibt ein hinreichendes Kriterium für die Existenz von Untergruppen bestimmter Ordnungen an.