Umformung einer Funktion

Question

Aufgabe:

Formen Sie die Gleichung W(t) =  45 · ℯ ^–0,223·t nach t um.

1. Schritt linke Seite /45 um rechts die 45 wegzubekommen
2. Schritt ln links um rechts Hochzahl wegzubekomme
somit hab ich ln(W/45)=-0,223*t   soweit so gut
3. Was mache ich und nach welcher Regel mit -0,223 
ich hätte links + gerechnet, was aber nicht stimmt laut Ergebnis (leider ohne Rechenweg)

Problem/Ansatz:

Ergebnis wäre t= -1/0,223 * ln(W/45)

Irgendeine Umformungsregel kann ich da nicht, so ein Problem hatte ich schon mal.
Mir geht es um den Weg und um die Regel um sie für zukünftige Fälle zu lernen. Hab schon so viele Videos geschaut und nichts dazu gefunden.

Danke Euch und LG

Comments

Ist $$W\left(t\right) =  45\cdot \textrm{e}^{-0.223\cdot t}$$ gemeint?

Answer 1

\( W(t)=45 \cdot e^{-0,223 t} \)

\( W(t)=\frac{45}{e^{0,223 t}} \mid \cdot e^{0,223 t} \)

\( W(t) \cdot e^{0,223 t}=45 \mid: W(t) \)

\( e^{0,223 t}=\frac{45}{W(t)} \)

\( 0,223 t \cdot \ln e=\ln \left(\frac{45}{W(t)}\right) \rightarrow \rightarrow \ln e=1 \)

\( 0,223 t=\ln \left(\frac{45}{W(t)}\right) \mid: 0,223 \)

\( t=\frac{\ln \left(\frac{45}{W(t)}\right)}{0,223} \)

Comments

Ich dachte durch das Vorzeichen Minus muss ich Plus rechnen. Dass ich es nicht Plus rechne hängt es davon ab, dass es am Anfang steht oder wie erklärt sich das?

Und warum schreiben die in der Lösung dann t= 1/0,223*ln(W/45)

Text erkannt:

\( t=-\frac{1}{0,223} \cdot \ln \left(\frac{W}{45}\right) \)

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Das - steht im Exponent. Wie willst du da mit + weiterkommen?

So kannst du es auch machen:

\(W(t)=45 \cdot e^{-0,223 t} \)|•\( e^{0,223t} \)

\( e^{0,223t} \)•W(t)=45|:W(t)

\( e^{0,223t} \)=\( \frac{45}{W(t)} \)

Weiter nun wie oben.

"Und warum schreiben die in der Lösung dann t= -1/0,223*ln(W/45)"

Das ist für mich auch rätselhaft.

Vielleicht wegen dem ln(W/45), und ich habe ln(45/W)   herausbekommen.

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Ich habe gerade bei Wolfram gefunden:

\( \log (W)=-\log \left(\frac{1}{W}\right) \)

Somit sind beide Lösungen korrekt.

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Ich habe gerade bei Wolfram gefunden:

Das steht auch in jeder Taschenrechneranleitung.

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Danke für den Tipp mit Wolfram

Answer 2

W =  45 · e ^( –0,223·t)
W /  45 =  e ^( –0,223·t)  | ln ( ... )
ln ( e ) hebt sich auf
ln ( W /  45 ) =  –0,223·t
t = ln ( W /  45 ) / ( - 0.223 )