Es ist möglich zu zeigen, dass \(\sum\limits_{i=0}^n (\frac{1}{5})^i = \frac{1-(\frac{1}{5})^{n+1}}{1-\frac{1}{5}} = \frac{5}{4} \cdot (1-\frac{1}{5^{n+1}})\) für jedes \(n\in \mathbb{N}\).
Jetzt betrachtest du \(\sum\limits_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{5})^i = \lim_{n\to \infty} \left(\sum\limits_{i=0}^n (\frac{1}{5})^i\right) = \lim_{n\to \infty} \left(\frac{5}{4} \cdot (1-\frac{1}{5^{n+1}})\right) = \frac{5}{4} \cdot (1-0) = \frac{5}{4}\).
Im Übrigen ist es nicht schwer zu zeigen, dass \(\sum\limits_{i=0}^{n} q^i = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}\) für jedes \(q\in \mathbb{R}, \ n\in \mathbb{N}\).
Falls du eine intuitive Erklärung brauchst:
Ja du summierst unendlich viele Folgenglieder der Folge \(((\frac{1}{5})^n)_{n\in \mathbb{N}}\) auf.
Allerdings werden diese immer kleiner, das nächste Folgeglied hat nur ein Fünftel des Wertes des vorigen (an dieser Stelle aber aufpassen, auch wenn die Folgeglieder immer kleiner werden, heißt das noch lange nicht, dass die entsprechende Aufsummierung konvergiert... man denke an die harmonische Reihe).
Es ist hier wahrscheinlich nicht schlecht, sich das auf einem Zahlenstrahl mal aufzumalen.
Du kommst mit der Aufsummierung eines jeden Folgegliedes der \(\frac{5}{4}\) immer näher, aber es fehlt immer ein kleines Stück.
Ein weiteres (m.E. besser zu zeichnendes) Beispiel wäre die Verdeutlichung von \(\sum\limits_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = 1\).
In jedem Schritt halbiert sich auf dem Zahlenstrahl der Abstand der Summe der Folgenglieder von \(1\), aber alleine durch Halbieren wirst du, egal wie oft du den Abstand halbierst, nicht beim Grenzwert landen.
