Löse die Quadratwurzelgleichung √(3x+4) - √(x+2) = √(x-3)

Question

Löse die Gleichung:

$$\sqrt { 3 x + 4 } - \sqrt { x + 2 } = \sqrt { x - 3 }$$

Ich habe mindestens 5 mal ein falsches (und immer unterschiedliches) Ergebnis herausbekommen.

In der Lösung heißt es x = 7.

Answer 1

Als erstes musst du die Wurzeln entfernen, indem du die Gleichung quadrierst:

√(3x+4) - √(x+2) = √(x-3)   | ()²
(√(3x+4) - √(x+2))² = (√(x-3))²
(√(3x+4) - √(x+2))² = (x-3)   | auf der linken Seite die 2. Binomische Formel

(√(3x+4))² - 2*√(3x+4)*√(x+2) + (√(x+2))² = x-3

(3x+4) - 2*√(3x+4)*√(x+2) + (x+2) = x-3

3x+4 - 2*√(3x+4)*√(x+2) + x+2 = x-3

3x+4 + x+2 - 2*√(3x+4)*√(x+2) = x-3

4x+6 - 2*√(3x+4)*√(x+2) = x-3   | -4x  -6

     - 2*√(3x+4)*√(x+2) = x-3 -4x  -6

     - 2*√(3x+4)*√(x+2) = -3x - 9     | :(-2)

           √(3x+4)*√(x+2) = 1,5x + 4,5    | Gleichung erneut quadrieren ()²

        (√(3x+4)*√(x+2))² = (1,5x + 4,5)²

         (3x+4)*(x+2) = (1,5x + 4,5)²

  3x*(x+2) +4*(x+2) = (1,5x + 4,5)²

  3x²+6x +4x+ 8 = (1,5x + 4,5)²

  3x²+ 10x + 8 = (1,5x)² + 2*1,5x*4,5 + (4,5)²

  3x²+ 10x + 8 = (1,5x)² + 2*1,5x*4,5 + (4,5)²

  3x²+ 10x + 8 = 2,25x² + 13,5x + 20,25

  3x²+ 10x + 8 = 2,25x² + 13,5x + 20,25  | alles auf eine Seite | -2,25x²   -13,5x   -20,25

  3x² - 2,25x² + 10x - 13,5x + 8 - 20,25 = 0

  0,75x² - 3,5x - 12,25 = 0

Normalform herstellen und dann p-q-Formel anwenden:

  0,75x² - 3,5x - 12,25 = 0 | :0,75

       x² - 4,6666 x - 16,3333 = 0

Beachte: -4,6666 ist ein gerundeter Wert, nimm besser die Bruchdarstellung mit -4 2/3. Gleiches gilt für -16,3333 → besser als -16 1/3 schreiben.

Hier wendest du jetzt die p-q-Formel an und erhältst:

(Achtung: Werte wieder gerundet!)

Wie du siehst, ist die Lösung x₁ = 7. (Durch die Rundung steht 6,999 dort, verwendest du statt der gerundeten Werte die oben angegebenen Brüche, so erhältst du korrekterweise 7).

Die Lösung mit x₂ ≈ -2,333 kannst du nicht nehmen, da sonst alle drei Wurzelterme nicht definiert sind (also das unter der Wurzel, der Radikand, wäre dann bei allen dreien negativ).

Wie man Wurzelgleichungen löst, erklären wir übrigens hier: Artikel: Wurzelgleichungen