Warum gilt P(max(U1,...Un)<=x) = P(U1 <=x, ..., Un<=x)?

Question

Aufgabe:

Seien U1,...,Un Zufallsvariablen, die auf [0,1] uniform verteilt und unabhängig sind. Sei Y eine Zufallsvariable, die den Wert des Maximums der Zufallsvariablen U1,..,Un annimmt.

Ich verstehe nicht warum folgendes gilt: P(max(U1,...Un)<=x) = P(U1 <=x, ..., Un<=x)?

Ich bräuchte eine Erklärung. Vielen Dank

Answer 1

Hallo,

in Worten formuliert steht da: Das Maximum von n Zahlen u1, ..., un ist kleiner gleich einer Zahl x genau dann, wenn jede der Zahlen kleiner gleich x ist.

Gruß Mathhilf

Comments

Aber warum ist die Wahrscheinlichleit das Produkt der Wahrscheinlichkeiten P(ui <= x) i=1,...,n (wegen der Unabhängigkeit). Y ist ja nur eine Zahl und zwar das Maximum. Ich verstehe den Zusammenhang nicht.

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Das hasttest Du noch nicht hingeschrieben. Es folgt aus der vorgegebenen Unabhängigkeit der U_i.

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Mir ist noch nicht klar, was Du fragst. Der Zusammenhang ist doch aufgrund der Definition der Zufallsvariable - ich benutze mal "s" für ein Element aus dem Grundraum \(\Omega\):

$$Z(s) \leq x \iff \max (U_1(s), \ldots, U_n(s)) \leq x$$

$$\iff U_1(s) \leq x \text{ und } \ldots \text{ und } U_n(s) \leq x$$

Wenn man davon die Wahrschienlichkeit berechnet, dann multiplizieren sich am Ende die Einzelwahrscheinlichkeiten, weil die U_i unabhängig sind.

Gruß Mathhilf