Ist T ein Teilraum von V?

Question

Hallo Mathefreunde,
Ich habe eine Frage bezäglich einer Aufgabe.

Sei V={f: ℝ → ℝ} der Vektorraum der reellen Funktionen. Untersuchen Sie, ob T={f: ℝ → ℝ |f(π)=0} ein Teilraum von V ist.

Mein bisheriger Ansatz war das Teilraumkriterium mit:
1) Nullvektor (also hier Nullfunktion) enthalten? (→ Meiner Meinung nach ja, da f(π)=0)
2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition
3) Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation

Wie kann ich hier die Teilraumkriterien prüfen? (Mir ist es egal ob wir die Aufgabe zusammen lösen oder mir einfach der Lösungsweg vorgeworfen wird. Nehme jede Hilfe dankend an!)

Hier die Aufgabe nochmal als Grafik:

Text erkannt:

Sei \( V=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\} \) der Vektorraum der reellen Funktionen. Untersuchen Sie, ob
$$ T=\{f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \mid f(\pi)=0\} $$
ein Teilraum von \( V \) ist.

Comments

Sei \(u,\:v\in T\) und \(k\in\mathbb{R}\) beliebig. Sind dann \(u+v\) und \(k\cdot u\) auch aus \(T\)?

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Schon, da \(f\in\mathbb{R}\) ist. Aber wie kann ich das mathematisch anhand des Teilraumkriteriums (s.o.) beweisen?

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1) Nullvektor (also hier Nullfunktion) enthalten? (→ Meiner Meinung nach ja, da f(π)=0)
2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition
3) Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation

Das ist doch schon die halbe Lösung.

1) Nullfunktion liegt in T, da die Nullfunktion π auf 0 abbildet.

2) Seien f, g in T, dann gilt f(π)=g(π)=0. Was ist dann (f+g)(π) ?

3) Sei f in T und λ in ℝ, dann ist wieder f(π)=0. Was ist dann (λ·f)(λ)?

Schau dir die Definition der Addition und Skalarmultiplikation von Funktionen an.  

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Zu 2)

Wenn man f(π) und g(π) addieren würde käme 0 heraus, also wäre T in der Addition abgeschlossen, oder?

Zu 3)

Meinst du (λ·f)(π)? Dann wäre das Ergebnis hier ja auch 0, da jedes Skalar mit 0 multipliziert wiederum 0 ergibt, oder?

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Schon, da \(f\in\mathbb{R}\) ist.

Das ist nicht richtig.

Aber wie kann ich das mathematisch anhand des Teilraumkriteriums (s.o.) beweisen?

Das Nachrechnen dieser Kriterien erschöpft sich fast im Hinschreiben und umfasst höchstens eine halbe Zeile.

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1) Der Nullvektor liegt in T, da die Nullfunktion π auf 0 abbildet.

2) Abgeschlossenheit bezüglich Addition: Seien f, g in T, dann gilt f(π)=g(π)=0. Was ist dann (f+g)(π)?
s(x) = f(x) + g(x) | x = π
s(π) = f(π) + g(π) | f(π) = g(π) = 0
s(π) = 0 + 0 = 0

3) Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation: Sei f in T und λ in ℝ, dann ist wieder f(π)=0. Was ist dann (λ·f)(π)?
f(π) = 0
(λ·f)(π) = λ·0 = 0

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Ja, das kannst du so hinschreiben.

s(π) = 0 + 0 = 0

Vielleicht könntest du danach noch anmerken, dass das bedeutet, dass f+g = s in T liegt. etc.

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Das geht auch kürzer:

Seien f,g∈T⊂V. Dann ist wegen (f+g)(π)=f(π)+g(π)=0+0=0 auch (f+g)∈T.

Answer 1

1. \(T\neq \emptyset\); denn die konstante 0-Funktion liegt in \(T\).

2. \(f,g\in T, c\in \mathbb{R}\Rightarrow (f+c\cdot g)(\pi)=f(\pi)+cg(\pi)=0+c\cdot 0=0\Rightarrow f+c\cdot g\in T\).