Ermittle die Anzahl aller Lösungen dieser Gleichung, bei denen keine zwei der drei Zahlen L, E und V gleich sind.

Question

Unter einer Lösung der Gleichung \( L+E +V+E+L=61 \) verstehen wir natürliche Zalhlem \( L, E \) und \( V \) größer als 0 , für die diese Gleichung gilt.

Ermittle die Anzahl aller Lösungen dieser Gleichung, bei denen keine zwei der drei Zahlen \( L \), \( E \) und \( V \) gleich sind.

Comments

lesbarer vielleicht:

Titel: L + E + V + E + L =61 Kluge Lösungen gesucht.

Stichworte: gleichungen

Unter einer Lösung der Gleichung L + E + V + E + L =61 verstehen wir natürliche Zahlen L, E und V größer als 0,für die diese Gleichung gilt.

Ermittle die Anzahl aller Lösungen dieser Gleichung, bei denen keinen zwei der drei Zahlen L, E und V gleich sind.

Problem: Ich bin in einem Rätselkatalog auf diese Frage gestoßen und kriege sie nicht gelöst. Kann mir jemand helfen?

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Vom Duplikat:

Titel: Anzahl aller Lösungen bei einer Gleichung mit 3 Variablen?

Stichworte: gleichungen,variablen,anzahl,lösungsmenge

Aufgabe: Anzahl aller Lösungen bei einer Gleichung mit 3 Variablen?

Gleichung: L+E+V+E+L=61

L,E,V= natürliche Zahlen > 0

! keine zwei der drei Zahlen L,E,V dürfen gleich sein

Problem/Ansatz:

Wenn man die Gleichung zusammenfasst hat man 2L+2E+V=61, nun könnte man 2 beliebige Variablen nehmen, z.B. L=1 und E=2.

2*1+2*2+V=61

6+V=61 |-6

V=55

2*1+2*2+55=61

61=61

Woher weiss ich die Lösungsmenge? Ich denke es sind unendlich viele Lösungen, aber wie ist der korrekte Mathematische Beweis?

Vielen Dank für eure Hilfe :-)

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Ich verstehe das nicht und wollte das noch lernen ich mache das so gerne aber das verstehe ich nicht

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Vom Duplikat:

Titel: Gleichung in der Matheolympiade

Stichworte: mathe-olympiade,rechenaufgabe

Unter einer Lösung der Gleichung   L+E +V+E+L=61  verstehen wir natürliche Zahlen  L, E und V größer als 0 , für die diese Gleichung gilt.Ermittle die Anzahl aller Lösungen dieser Gleichung, bei denen keine zwei der drei Zahlen L, E  und V gleich sind.

Answer 1

L + E + V + E + L = 2 * (E + L) + V = 61

Du entnimmst, dass V sicher eine Ungerade Zahl ist, da 2 * (E + L) sicher gerade ist.

Sei V = 1 dann ist E + L = 30. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass E + L = 30 ist?

Sei V = 3 dann ist E + L = 29. Wie viele Möglichkeiten gibt es da?

Sei V = 55 dann ist E + V = 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier?

Achte darauf, dass Möglichkeiten nicht zählen, bei denen eine Zahl mehrfach auftritt.

Wie viele Möglichkeiten gibt es also insgesamt?

Comments

Wie meinen Sie das? Bin halt in der 6ten Klasse und versuche mich am knobeln

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Dann schreibe doch mal möglichkeiten auf die ich genannt habe

V = 1 ; E = 2 ; L = 28

Das ist doch z.B. eine Möglichkeit die passt

V = 1 ; E = 3 ; L = 27
V = 1 ; E = 4 ; L = 26
...
Ich glaube ich muss nicht weitermachen oder?

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Nein, verstanden. Danke

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Ich komme dabei auf 400 Möglichkeiten. Aber das kann sein, dass ich mich da um ein paar verzählt habe. Solltest du auf etwas anderes kommen

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Bei E+L=30 gibt es 15?

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Bei E+L=30 gibt es 15?

Die 15 könntest du ja aufschreiben und dann beurteilen ob das alle sind oder nicht?

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Sei V = 55 dann ist E + V = 3. Wie viele Möglichkeiten gibt es hier?

Hier muss es doch E + L = 3 sein

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Hier muss es doch E + L = 3 sein

Richtig. War ein Tippfehler von mir. Gut das du mitgedacht hast und meinen Fehler erkannt hast.

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So bin ich auf das Ergebnis gekommen. Stimmt das so?

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Ich weiß nicht ganz was du mit Möglichkeit1 und Möglichkeit2 meinst. Ich könnte es fast erahnen aber dann wären noch ein paar klitzekleine Fehler drin. Aber das geht schonmal in die richtige Richtung.

Nehmen wir mal

V = 53
E + L = 4

Welche Möglichkeiten gibt es jetzt E + L = 4 zu realisieren?

E = 1 ; L = 3
E = 2 ; L = 2
E = 3 ; L = 1

Prinzipiell natürlich 3 Möglichkeiten. das kann man auch einfach über 4 - 1 = 3 berechnen. Allerdings muss man die mittlere Möglichkeit E = 2 ; L = 2 streichen, weil dort ja E = l gilt was nicht erlaubt ist. Das ist übrigens immer der Fall, wenn E + L eine gerade Zahl ist.

Weiterhin muss man ausschließen das E = V oder L = V ist. Was ja auch nicht erlaubt ist.

Aber du siehst ja, dass du mit 414 schon in die richtige Richtung kommst.

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Das habe ich Berücksichtigt. Bei M2

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Wie gesagt bei E + L = 4 gibt es nur 2 Möglichkeiten und nicht 3 wie in deiner Tabelle.

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Komme echt nicht weiter. Könnten Sie mir helfen?

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Hallo Jan,

vielleicht hilft dir meine Antwort weiter.

:-)

Answer 2

V=1 → L+E=30

V=3 → L+E=29

V=5 → L+E=18

...

V=57 → L+E=2

V=59 → L+E=1

Untersuche jeden der 30 Fälle separat auf Anzahl der Möglichkeiten mit unterschiedlichen Zahlen (die letzten beiden Fälle gehen schon mal nicht).

Comments

Ich biete 400 Lösungen.

Das Semikolon am Ende der ersten Zeile tut sie "ausblenden", scheint aktuell gerade modern zu sein.

Answer 3

2L+2E+V=61

2(L+E)+V=61 → V ungerade

Ich betrachte L<E.

Am Zeilenende steht jeweils die Anzahl der Möglichkeiten.

Kleinster Wert für L+E=1+2=3 → V=55 → 1

V=53 → L+E=4=1+3 → 1

V=51 → L+E=5=1+4=2+3 → 2

V=49 → L+E=6=1+5=2+4 → 2

...

V=19 → L+E=21=1+20=...=10+11 → 10-1

V=17 → L+E=22=1+21=...=10+12 → 10-1

...

V=3 → L+E=29=1+28=...=14+15 → 14-1

V=1 → L+E=30=1+29=...=14+16 → 14-1

Ab V=19 ist L+E>V. Daher muss der Fall L=V jeweils abgezogen werden.

Zwischenergebnis:

2*(1+2+...+14)-10=2*105-10=200

Nun muss moch mit 2 multipliziert werden, da L>E die gleiche Anzahl ergibt.

200*2=400

:-)

Comments

Kannst du erklären wieso man am Ende mal 2 multipliziert?

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Hallo,

z.B. in dieser Zeile:

Kleinster Wert für L+E=1+2=3 → V=55

gibt es zwei Lösungen, nämlich L=1, E=2  und L=2, E=1.

Ich habe die zweite Lösung aber zunächst nicht betrachtet, sondern ganz am Schluss die Anzahl verdoppelt.