Regressionsrechnung, Modell Parameter schätzen

Question

Aufgabe:

Der Abbau der Adrenalinkonzentration in der Leber wurde im Rahmen einer umfangreichen medizinischen Untersuchung analysiert.

Zeit (min)    6   ; 18 ;  30 ; 42 ; 54

Adrenalin 30,2 ; 9,8 ;4,7 ; 1,8; 0,8

Fassen Sie die dokumentierten Ergebnisse als Grundgesamtheit auf

a) stellen Sie das Modell auf

b) Schätzen Sie die Modell Parameter

Problem/Ansatz:

Nr a habe ich verstanden. Es geht um Nr b. Ich habe sxy schon ausgerechnet und es ist richtig (-160,32) habe dort 1/5 genommen

Jedoch ist es bei s^2 x irgendwie einwenig anders laut Lösung. Ich hatte nämlich auch mit 1/N gerechnet (1/5) da es ja um die Grundgesamtheit geht. Jedoch muss man laut Lösung die Berechnung der Stichprobe nehmen 1/n-1. Ich hatte aber auch wieder 1/N genommen. Ich verstehe nicht wieso man bei einem die Rechnung für die Stichprobe und bei dem anderen für die Gesamtheit nimmt.

Infos:

Modell: y_i = β₀+ β₁*x_i + ε1

sxy= 1/N (xi-x‾) (Yi-y‾)

1/5((6-30)(30,2-9,46)+(18-30)(9,8-9,46)+[…])

=-160,32


30 arithmetisches Mittel für x

9,46 für y

Ich hoffe man versteht das Problem, sonst gerne Fragen, ich versuche es dann anders auszudrücken.

Lg

Comments

Nr a habe ich verstanden.

Was hast Du denn für ein Modell aufgestellt?

Ich habe sxy schon ausgerechnet

Was ist sxy? Oder s_xy? Und wie hast du es mit dem Ergebnis -160,32 ausgerechnet?

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yi=β0+β1* xi+E1 ist das Modell laut Lösung ist das auch richtig

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ist es vielleicht eher

y_i = β₀ + β₁*x_i + ε_i

?

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s_xy= 1/N (x_i-x‾) (Y_i-y‾)

1/5((6-30)(30,2-9,46)+(18-30)(9,8-9,46)+[…])

=-160,32

30 arithmetisches Mittel für x

9,46 für y

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Ja, genau. Komme hier nicht so ganz mit der Seite klar

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Nach diversen Ergänzungen und nachträglichen Korrekturen ist es nun klarer. Es geht also um ein lineares Modell.

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Ich hab es so gut wie möglich versucht zu ergänzen.

Ja, mein Problem ist es s^2 x auszurechnen.

In der Lösung ist der Wert nämlich 360 jedoch komme ich auf 288. Der Grund ist das in der Lösung mit 1/n-1 gerechnet wurde also Stichprobe und somit 1/4. Jedoch Stand in der Aufgabe das es mit der Grundgesamtheit gerechnet werden sollte, weswegen ich 1/N genommen habe und somit 1/5.

wir berechnet s^2 x wie folgt: 1/N oder 1/n-1 (x_i-x‾)^2+ […]

x‾ ist das arithmetische Mittel

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Gesucht werden ja β₀ und β₁. Die stehen unten in meiner Antwort.

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Modell: yi = β0+ β1*xi + ε1
β0 + ε1 könnten zusammengefaßt werden zu.

Modell: yi = ( β0 + ε1 ) + β1*xi
ist eigentlich nur eine lineare Funktion
der Form

y ( x ) = m * x + b

Über die Summe
x, y, xy, x^2 könnte eine lineare
Regression berechnet werden.

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Infos:
Modell: yi = β0+ β1*xi + ε1

Die Abnahme einer Stoffkonzentration im Körper ist doch IMHO nicht linear! Müßte das Modell nicht vielmehr heißen:$$y(t)= a \cdot e^{-t/T}$$das ganze logarithmiert gibt$$\ln(y) =  \underbrace{\ln(a)}_{=\beta_0} + \underbrace{-\frac{1}{T}}_{=\beta_1}t$$und wenn man das berechnet, kommt man auf$$a = 42,932; \quad T= 13,398\,\text{min}$$und so sieht das graphisch aus:

~plot~ 42.93*e^(-x/13.4);{6|30.2};{18|9.8};{30|4.7};{42|1.8};{54|0.8};[[-5|60|-5|35]] ~plot~

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"laut Lösung ist das auch richtig", steht weiter oben zum linearen Modell.

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"laut Lösung ist das auch richtig", steht weiter oben zum linearen Modell.

Dann ist die "Lösung" eben Mist! mache doch mal so eine Messung zweimal. Einmal misst man zwischen 5min und 40min und beim zweiten Mal zwischen 15min und 60min. Man bekommt bei der Datenlage zwei völlig unterschiedliche Ergebnisse, wenn man jedesmal von einem linearen Model ausgeht!

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Absolut einverstanden. Ich habe persönlich die Erfahrung gemacht, dass es tolle Mathelehrer gibt die gerne hören, wenn ein Schüler Ihren Mist entdeckt, denn immerhin zeigt das ja, dass ein Lichtlein brennt. Aber auch, dass solche Mathelehrer rar gesät sind. Ich selber wurde hier vor längerer Zeit angepflaumt, als ich auf einen ökonomischen Superbockmist hingewiesen hatte, den sich aufgabenstellende Mathelehrer öfters leisten um ihre Optimierungsaufgaben vermeintlich aufzuhübschen. Und gerade kürzlich wurde ein anderer Hinweis auf einen anderen ökonomischen Bockmist getilgt, offenbar als Sakrileg. Wie auch immer, es scheint, dass diese Klasse erst bei der linearen Regression angekommen ist.

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... und anschließend auch noch nach der Varianz fragen! Ist das der 'kompetenzorientierte' Unterricht? das ist doch hanebüchener Unsinn!

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Wie auch immer, es scheint, dass diese Klasse erst bei der linearen Regression angekommen ist.

Die Regression bleibt ja linear (s.o.). Nur das Modell muss vorher logarithmiert werden. Wie man es dann nichtlinear löst, ist nochmal eine andere Hausnummer!

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Hallo,
was ist der Zweck deiner Frage ?
Hast du 4 ( Meß-) werte und willst eine
Regressionsfunktion durchlegen ?

Kann die Art der Funktion frei gewählt
werden ? Eine Exponentialfunktion
wäre wahrscheinlich das einfachste.

mfg Georg

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Fragesteller hat 5 nicht 4 Messwerte. Dass eine lineare Funktion verlangt wird kann der Aufgabenstellung ebenfalls entnommen werden.

Answer 1

Ich habe in meinem CAS geschrieben b für β₀ und c für β₁

Das Minimum der Abweichungsquadrate (zwischen Schätzung und Messung) ist

Comments

Hier eine Darstellung der linearen (orange) und einer alternativen exponentiellen (grün) Regression der fünf Datenpunkte: