Bestimmen sie die Ganzrationale Funktion, die durch die Punkte ...

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie die Ganzrationale Funktion, die durch die Punkte A(-2/-28), B(0/6), C(2/4), D(4/2), E(6/-108) geht

Problem/Ansatz:

An sich verstehe ich, wie man mit Punkten auf eine Funktion kommt (Punkte in Funktion einsetzen, EInsetzungsverfahren, Y-Achsenabschnitt erkennen etc.), aber woher weiß ich in dem Fall durch die Punkte, welcher Grad die Funktion hat und in welche "Grundfunktion" ich die Punkte einsetzen muss?

Answer 1

So als Kontrolllösung:

Answer 2

Aloha :)

Im schlimmsten(!) Fall, muss der Grad des Polynoms um eins niedriger sein als die Anzahl der Punkte. Hier hast du 5 Punkte, also ist der Anstaz:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$$Der Grad des Polynoms ist $4$, aber du hast $5$ unbekannte Parameter $a,b,c,d,e$, für jeden Punkt einen.

Comments

danke ! Wie mache ich dann weiter?

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Jetzt setzt du die Punkte ein. Aus dem Punkt $B(0|6)$ folgt sofort $e$:$$6=f(0)=e\implies \underline{\underline{e=6}}$$Damit haben wir einen Punkt verarbeitet und sind einen Parameter los. Bleiben vier Punkte und vier Parameter:$$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+6$$Wir setzen die restlichen Punkte ein:

$$-28=f(-2)=16a-8b+4c-2d+6$$$$4=f(2)=16a+8b+4c+2d+6$$$$2=f(4)=256a+64b+16c+4d+6$$$$-108=f(6)=1296a+216b+36c+6d+6$$

Und formulieren daraus ein Gleichungssystem:

$$\begin{array}{rrrr|r}a & b & c & d & =\\\hline16 & -8 & 4 & -2 & -34\\16 & 8 & 4 & 2 & -2\\256 & 64 & 16 & 4 & -4\\1296 & 216 & 36 & 6 & -114\\\hline\end{array}$$Das kannst du nun lösen.

Kriegst du das hin oder soll ich dir den Rechenweg zeigen?

Answer 3

die allgemeine Funktion lautet:

f(x)= ax⁴+bx³+c²+dx+e

Wenn du die Punkte jeweils in die Funktion einsetzt, erhältst du ein Lineares Gleichungssystem, die du dann lösen musst:

1. 16a-8b+4c+2d+e = -28

2. 0a+0b+0c+0d+e= 6

3. 16a+8b+4c+2d+e= 4

4. 256a+64b+16c+4d+e= 2

5.1296a+216b+36c+6d+e=-108,

du könntest dass dann zu einer Matrix umschreiben, die Matrix zur Zeilen-Stufen-Form bringen und hast dann am Ende die Variablen raus. e ist schon mal 6 , wie du bei der 2.Gleichung sehen kannst