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Aufgabe:

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Text erkannt:

a) Sei \( D=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \times\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), f: D \rightarrow \mathbb{R} \) und
\( \nabla f(x, y)=\left(\begin{array}{l} 1+\sin (x+y)-\sin (x-y) \\ 1+\sin (x+y)+\sin (x-y) \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die stationären Punkte von \( f \) in \( D \).


Problem/Ansatz:


irgendwie komme ich noch nicht mal auf einen Ansatz, ich probiere eigentlich immer rum aber hier komme ich auf nichts...

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ich probiere eigentlich immer rum

Und was probierst du beim Rumprobieren?

ich glaub ich habs grad herausgefunden, +-pi/4 oder?
Oh man das ist ja eigentlich relative einfach....

2 Antworten

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Beste Antwort

Löse die Gleichung

        \( \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+\sin (x+y)-\sin (x-y) \\ 1+\sin (x+y)+\sin (x-y) \end{pmatrix} \)

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Aloha :)

$$\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{1+\sin(x+y)-\sin(x-y)}{1+\sin(x+y)+\sin(x-y)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Da beide Komponenten gleich \(0\) sein müssen, muss auch die Differenz gleich \(0\) sein:$$0=\partial_y f-\partial_x f=2\sin(x-y)\implies x-y=\mathbb Z\cdot\pi\implies y=x+\mathbb Z\cdot\pi$$Wir setzen das ein und erhalten als neue Forderung:$$\binom{1+\sin(x+x+\mathbb Z\cdot\pi)-\sin(x-(x+\mathbb Z\cdot\pi))}{1+\sin(x+x+\mathbb Z\cdot\pi)+\sin(x-(x+\mathbb Z\cdot\pi))}\stackrel!=\binom{0}{0}$$$$\binom{1+\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)-\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)}{1+\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)+\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Wegen \(\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)=0\) und \(\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)=\pm\sin(2x)\) bleibt eine Bedingung für \(x\) übrig:$$1\pm\sin(2x)=0\implies\sin(2x)=\pm1\implies2x=\pm\frac{\pi}{2}\implies x=\pm\frac{\pi}{4}$$Der Sinus ist zwar \(2\pi\)-periodisch, jedoch ist nach Definitionsbereich \(-\frac\pi2<x<\frac\pi2\), sodass wir zwei Lösungen für \(x\) haben. Da derselbe Definitionsbereich für \(y\) gilt, muss bei den kritischen Punkte \(y=x\) sein.

Schließlich haben wir also zwei kritische Punkte gefinden:$$K_1\left(-\frac\pi4\bigg|-\frac\pi4\right)\quad;\quad K_2\left(+\frac\pi4\bigg|+\frac\pi4\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

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