Bestimmen von stationären Punkten

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

a) Sei \( D=\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \times\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), f: D \rightarrow \mathbb{R} \) und
\( \nabla f(x, y)=\left(\begin{array}{l} 1+\sin (x+y)-\sin (x-y) \\ 1+\sin (x+y)+\sin (x-y) \end{array}\right) \)
Bestimmen Sie die stationären Punkte von \( f \) in \( D \).

Problem/Ansatz:

irgendwie komme ich noch nicht mal auf einen Ansatz, ich probiere eigentlich immer rum aber hier komme ich auf nichts...

Comments

ich probiere eigentlich immer rum

Und was probierst du beim Rumprobieren?

---

ich glaub ich habs grad herausgefunden, +-pi/4 oder?
Oh man das ist ja eigentlich relative einfach....

Answer 1

Löse die Gleichung

        \( \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+\sin (x+y)-\sin (x-y) \\ 1+\sin (x+y)+\sin (x-y) \end{pmatrix} \)

Answer 2

Aloha :)

$$\binom{\partial_x f}{\partial_y f}=\binom{1+\sin(x+y)-\sin(x-y)}{1+\sin(x+y)+\sin(x-y)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Da beide Komponenten gleich \(0\) sein müssen, muss auch die Differenz gleich \(0\) sein:$$0=\partial_y f-\partial_x f=2\sin(x-y)\implies x-y=\mathbb Z\cdot\pi\implies y=x+\mathbb Z\cdot\pi$$Wir setzen das ein und erhalten als neue Forderung:$$\binom{1+\sin(x+x+\mathbb Z\cdot\pi)-\sin(x-(x+\mathbb Z\cdot\pi))}{1+\sin(x+x+\mathbb Z\cdot\pi)+\sin(x-(x+\mathbb Z\cdot\pi))}\stackrel!=\binom{0}{0}$$$$\binom{1+\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)-\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)}{1+\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)+\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Wegen \(\sin(-\mathbb Z\cdot\pi)=0\) und \(\sin(2x+\mathbb Z\cdot\pi)=\pm\sin(2x)\) bleibt eine Bedingung für \(x\) übrig:$$1\pm\sin(2x)=0\implies\sin(2x)=\pm1\implies2x=\pm\frac{\pi}{2}\implies x=\pm\frac{\pi}{4}$$Der Sinus ist zwar \(2\pi\)-periodisch, jedoch ist nach Definitionsbereich \(-\frac\pi2<x<\frac\pi2\), sodass wir zwei Lösungen für \(x\) haben. Da derselbe Definitionsbereich für \(y\) gilt, muss bei den kritischen Punkte \(y=x\) sein.

Schließlich haben wir also zwei kritische Punkte gefinden:$$K_1\left(-\frac\pi4\bigg|-\frac\pi4\right)\quad;\quad K_2\left(+\frac\pi4\bigg|+\frac\pi4\right)$$