Berechne alle möglichen Tangentengleichungen des Kreises x2 + y2 - 6x - 2y + 8 = 0

Question

Aufgabe:

Berechne alle möglichen Tangentengleichungen des Kreises x² + y² - 6x - 2y + 8 = 0

Problem/Ansatz:

Das Zentrum des Kreises konnte ich "berechnen" und liegt bei (3;1) sowie der Radius r = $\sqrt{2}$, jetzt habe ich eine vereinfachte Kreisgleichung (x-3)² + (y-1)² = 2, aber wie finde ich jetzt alle möglichen Tangentengleichungen?

Comments

Leider helfen die Antworten mir nicht wirklich. In der Angabe ist es nicht wirklich klar, aber ich vermute, dass die Tangenten durch den Punkt (0;0) verlaufen müssen.

Die Lösungen sind y = x und y = -1/7x.

Ich versuche es anhand eines Gleichungssystem von y = mx und x² + (mx)² - 6x - 2mx + 8 = 0 zu lösen, aber hier stecke ich fest.

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Hab es, in dem ich anständig faktorisiert habe und dann Rho gerechnet habe und dann Rho = 0 gesetzt habe. Danke.

Answer 1

Hallo,

darf es auch 'ne Vektorgleichung sein? Wähle einen Winkel $\varphi$ und gehe vom Mittelpunkt unter diesem Winkel zum Umfang des Kreises. Dann hast Du einen Aufpunkt für die Gerade und dann von dort eine 90°-Drehung nach links für den Richtungsvektor. Formal ist das:$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} + \sqrt 2\begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\sin \varphi\\ \cos \varphi\end{pmatrix}t\quad \varphi \in [0;\,2\pi)\\$$und so sieht das aus:

bleibt noch zu erwähnen, dass man das Ganze auch als Normalengleichung schreiben kann$$\begin{aligned}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} &= \left( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} + \sqrt 2\begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix}\\ \vec x \begin{pmatrix} \cos \varphi\\ \sin \varphi \end{pmatrix} &= 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2\end{aligned}$$und die Koordinatenform der Gleichung ist nur eine andere Schreibweise der Normalform:$$x\cos\varphi + y\sin\varphi = 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2$$und zur Kontrolle, das ganze nochmal in Desmos gegossen:

Wenn Du nun die Tangenten suchst, die durch $(0|\,0)$ verlaufen, so bedeutet, das ja nichts anderes, als dass die rechte Seite obiger Gleichung zu $0$ wird:$$3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2 = 0$$Der Rechenweg ist wie folgt:$$\begin{aligned} 3\cos \varphi + \sin\varphi + \sqrt 2 &= 0 \\ \pm3\sqrt{1-\sin^2 \varphi} + \sin\varphi + \sqrt 2 &= 0 \\ \pm3\sqrt{1-\sin^2 \varphi} &= -\sin\varphi -\sqrt 2 \\ 9 - 9\sin^2\varphi &= \sin^2\varphi +2\sin\varphi\sqrt 2 + 2\\ 10\sin^2\varphi +2\sin\varphi\sqrt 2 -7 &= 0\\ \sin\varphi_{1,2} &= \frac{-2\sqrt 2 \pm \sqrt{8 -4\cdot 10 \cdot (-7)}}{2 \cdot 10}\\ &= \frac{(-2 \pm 12)\sqrt 2}{20}\\ &= \frac{(-1 \pm 6)\sqrt 2}{10}\\ \implies \sin\varphi_1 &= \frac 12\sqrt 2 \quad \sin\varphi_2=-\frac7{10}\sqrt 2 \end{aligned}$$bleibt noch zu beachten, dass es für beide Werte noch einmal zwei Lösungen gibt. Es gibt also zunächst vier Lösungen, die aber noch geprüft werden müssen. Übrig bleibt:$$\sin\varphi_1 = \frac 12\sqrt 2, \quad \cos \varphi_1 =-\frac12\sqrt2\implies y=x$$und $$\sin\varphi_2=-\frac7{10}\sqrt 2, \quad \cos\varphi_2 = -\frac1{10}\sqrt2 \implies y=-\frac17x$$

Schulmäßiger(!) wird es, wenn man gleich davon ausgeht, dass die gesuchte lineare Gleichung $y=mx$ ist.

Diese bringt man mit dem Kreis zum Schnitt, löst nach $x$ auf und wählt den Wert für $m$, für den es nur eine Lösung für $x$ gibt:$$\begin{aligned}(x-3)^2 + (mx -1)^2&=2 \\ x^2 - 6x + 9 +m^2x^2 - 2mx + 1 &= 2 \\ x^2(1+m^2) -(6+2m)x +8 &= 0\\x_{1,2} &= \frac{6+2m \pm\sqrt{(6+2m)^2 -4\cdot(1+m^2)\cdot 8}}{2(1+m^2)} \\ \implies (6+2m)^2 -4\cdot(1+m^2)\cdot 8 &= 0 \\ 36 +24m +4m^2 - 32 -32m^2 &= 0\\ -28m^2 +24 m + 4 &= 0 \\ m_{1,2}&= \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4\cdot (-28)\cdot 4}}{2 \cdot (-28)} \\&= \frac{-24 \pm 32}{-56} \\ \implies m_1&=-\frac17 \quad m_2 = 1 \end{aligned}$$das führt also genauso zu den beiden von Dir angegebenen Lösungen.

Gruß Werner

Comments

Super-Lösung !

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Super-Lösung !

Danke! :-)

Ich habe meine Lösung wg. dem Kommentar des Fragestellers (s.o.) noch mal angepasst

Answer 2

Ich würde versuchen, die beiden y-Achsen-Abschnitte in Abhängigkeit der Tangentensteigung auszudrücken.

Answer 3

Aloha :)

Deine Kreis-Gleichung kann ich bestätigen:$$0=x^2+y^2-6x-2y+8$$$$0=(x^2-6x+9)-9+(y^2-2y+1)-1+8$$$$0=(x-3)^2+(y-1)^2-2$$Umgeformt also:$$(x-3)^2+(y-1)^2=2$$Der Mittelpunkt des Kreises lautet ist $M(3|1)$ und der Radius des Kreises ist $r=\sqrt2$. Daher gilt:$$x\in[3-\sqrt2\,|\,3+\sqrt2]$$Die Ränder des gechlossenen Intervalls sind mit den Mitteln der Differentialrechnung nicht zu fassen. Wir halten daher fest, dass es vertikale Tangenten am linken Rand $x_L=3-\sqrt2$ und am rechten Rand $x_R=3+\sqrt2$ des Intervalls gibt. Für das offene Intervall wählen wir ein$$x_0\in\left(3-\sqrt2\,|\,3+\sqrt2\right)$$stellen die Kreisgleichung nach $y(x)$ um$$y(x)=1\pm\sqrt{2-(x-3)^2}$$und können für jedes dieser $x_0$ zwei Tangenten angeben:

$$t_{x_0}(x)=y(x_0)+y'(x_0)\cdot(x-x_0)$$$$t_{x_0}(x)=1\pm\sqrt{2-(x_0-3)^2}\pm\frac{-2(x_0-3)}{2\sqrt{2-(x_0-3)^2}}\cdot(x-x_0)$$$$t_{x_0}(x)=1\pm\sqrt{2-(x_0-3)^2}\mp\frac{(x_0-3)}{\sqrt{2-(x_0-3)^2}}\cdot(x-x_0)$$

Answer 4

Der Kreis (x-3)² + (y-1)² = 2 lässt sich in Form von 2 Halbkreisen darstellen, wenn du beide Möglichkeiten der Umstellung nach y berücksichtigst.

Der obere Halbkreis wird durch die Funktionsgleichung $y=1+\sqrt{2-(x-3)^2}$ beschrieben.

Kannst du die Tangentengleichung für einen beliebigen Punkt (u|f(u)) dieser Funktion aufstellen?

Alternative: Die Gleichung der Tangente für einen beliebigen Punkt $(x_0;y_0)$ des Kreises lautet

$(x-3)(x-x_0)+(y-1)(y-y_0)=2$.

Wenn du jetzt noch y₀ durch x₀ ausdrücken kannst...