Aloha :)
Da es bisher zwei unterschiedliche Ergebnisse gibt, kann ich die Aufgabe auch in einer offiziellen Antwort nachrechnen ;)
Folgender Plan:
1) Wir wählen einen Vektor vom Punkt \(R(3|2|-1)\) zu einem beliebigen Punkt der Ebene, etwa zum Ankerpunkt \(A(1|3|2)\) der Ebene.$$\overrightarrow{RA}=\vec a-\vec r=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}$$
2) Wie berechnen einen Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene:
$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}$$
3) Wir projezieren den Vektor \(\overrightarrow{RA}\) auf den Normalenvektor.
$$\overrightarrow{RA}_\parallel=\frac{\overrightarrow{RA}\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\cdot\vec n=\frac{\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}=\frac{-3}{33}\begin{pmatrix}2\\-5\\2\end{pmatrix}=\frac{1}{11}\begin{pmatrix}-2\\5\\-2\end{pmatrix}$$
4) Schließlich gehen wir vom Punkt \(R\) den Vektor \(\overrightarrow{RA}_\parallel\) entlang zum Lotfußpunkt:
$$F=\vec r+\overrightarrow{RA}_\parallel=\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}+\frac1{11}\begin{pmatrix}-2\\5\\-2\end{pmatrix}=\frac1{11}\begin{pmatrix}31\\27\\-13\end{pmatrix}$$
Der Lotfußpunkt lautet daher: \(F\left(\frac{31}{11}\,\big|\,\frac{27}{11}\,\big|-\frac{13}{11}\right)\).
