Ganzrationale Funktionen 4 Gerades bestimmen

Question

Wie folgt steht die Aufgabe :
Bestimmen sie die ganzrationale Funktion 4 Gerades,deren Graph
a) symmetrisch zur y-Achse ist,durch A(0 Schrägstrich 2) geht und den Tiefpunkt B(1 Schrägstrich 0) hat.
Der Schrägstrich ist also kein Bruch.
b) symmetrisch zur Y-Achse ist und in P(2 Schrägstrich 0) eine Wendetangente mit der Steigung mit −4/3 hat.


Kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion, die symmetrisch zur y-Achse ist, hat in ihrem Funktionsterm nur geradzahlige Exponenten. Die allgemeine Form einer solchen Funktion 4. Grades sieht also so aus:

f ( x ) = a x ⁴ + b x ² + c

Somit brauchen nur 3 Parameter bestimmt zu werden, und dafür bietet die Aufgabenstellung hinreichende Informationen, nämlich in Teil a)

1) den Punkt A ( 0 | 2 )
2) den Punkt B ( 1 | 0 ) und
3) dass f ( x ) in Punkt B einen Tiefpunkt hat, dass also für die Ableitung f ' ( x ) an der Stelle x = 1 gilt:
f ' ( 1 ) = 0

und in Teil b)

1) den Punkt P (2 | 0 )
2) dass die Funktion dort die Steigung ( - 4 / 3 ) hat, also f ' ( 2 ) = - 4 / 3 und
3) dass dort ein Wendepunkt von f ( x ) vorliegt, dass also die zweite Ableitung von f ( x ) dort
den Wert 0 annimmt (  f ' ' ( 2  ) = 0  ).

In beiden Teilen kann man nun durch Einsetzen der Informationen in die allgemeine Funktionsgleichung bzw. deren 1. oder 2. Ableitung jeweils drei Gleichungen aufstellen. Durch Lösen dieser Gleichungssysteme bestimmt man dann jeweils die Werte der Parameter a, b, c.

Diese Werte setzt man dann anstelle der Parameter in die allgemeine Fuktionsgleichung ein und erhält so die jeweilige spezielle Funktionsgleichung.