Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung.

a) f(x) = x^2 * g(x)

b) f(x) = x * g'(x)

c) f(x) = x * g^2(x)

d) f(x) = g(x) * g'(x)

Answer 1

Aloha :)

Kann es sein, dass ihr aktuell die Produktregel behandelt?

$$f(x)=\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{g(x)}_{=v}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{g(x)}_{=v}+\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v'}$$

$$f(x)=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{g''(x)}_{=v'}$$

$$f(x)=\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{g(x)}_{=v}\cdot\underbrace{g(x)}_{=w}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{g(x)}_{=v}\cdot\underbrace{g(x)}_{=w}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v'}\cdot\underbrace{g(x)}_{=w}+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{g(x)}_{=v}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=w'}$$$$\phantom{f'(x)}=g^2(x)+2x\cdot g(x)\cdot g'(x)$$

$$f(x)=\underbrace{g(x)}_{=u}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v}\quad\implies$$$$f'(x)=\underbrace{g'(x)}_{=u'}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=v}+\underbrace{g(x)}_{=u}\cdot\underbrace{g''(x)}_{=v'}$$

Answer 2

d) f'(x) = g'(x)*g'(x) + g(x)*g''(x) = (g'(x))^2+ g(x)*g''(x)