Aloha :)
Irgendein Clown hat die Rechnung in der falschen Reihenfolge aufgeschrieben, deswegen bist du verwirrt. Zusätzlich wurde mit dem \(\frac2x\) auch ein Fehler eingebaut.$$\phantom{=}\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x\right)=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\sqrt{x+2}-\sqrt x\right)\left(\sqrt{x+2}+\sqrt x\right)}{\sqrt{x+2}-\sqrt x}$$$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{(x+2)-x}{\sqrt{x+2}-\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$$Soweit wurde die obere Gleichungskette verwendet. Wir stellen fest, dass der Term immer positiv ist. Wir haben also eine untere Grenze \(0\) für den Grenzwert. Wir müssen den Grenzwert nun noch nach oben abschätzen. Ein Bruch wird größer, wenn sein Nenner kleiner wird, daher können wir \(\sqrt{x+2}\) im Nenner durch \(\sqrt x\) ersetzen und abschätzen:$$<\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt x+\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{2\sqrt x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt x}\to0$$Da der Term immer positiv ist, muss der Grenzwert also \(0\) sein.
Die Abschätzung in der Aufgabe mit \(\frac1x\) ist eine nach unten, denn für \(x>6\) gilt:$$x^2>4x+8\implies x^2>4(x+2)\implies x>2\sqrt{x+2}=\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}\implies$$$$x>\sqrt{x+2}+\sqrt{x}\implies\frac1x<\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}$$In der vorgegebenen Lösung wurde also verwendet, dass für \(x>6\) bzw für \(x\to\infty\) gilt:$$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x+2}+\sqrt x}>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0$$Wir erfahren also nur, was wir eh schon wussten, dass nämlich eine untere Grenze für den Grenzwert \(0\) ist. Die Abschätzung nach oben fehlt in der Musterlösung.
