Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
\(A=\text{Es regnet.}\)
\(B=\text{Die Straße ist nass.}\)
Der Pfeil \(\implies\) ist die sog. Implikation. Das heißt, wenn links von dem Pfeil etwas Wahres steht, dann muss auch das wahr sein, was rechts von dem Pfeil steht.
1) \(A\implies B\)
Das ist wahr. Wenn es regnet ist auch die Straße nass.
2) \(B\implies A\)
Das ist nicht wahr. Die Straße kann auch nass sein, weil jemand einen Eimer Wasser ausgegossen hat.
Der Pfeil \(\Longleftrightarrow\) ist eine Äquivalenz. Er setzt sich aus zwei Implikationen zusammen. Wenn das links von dem Pfeil wahr ist, muss auch das rechts von dem Pfeil wahr sein, und umgekehrt.
3) \(A\Longleftrightarrow B\) ist gleichbedeutend mit \(A\implies B\) und \(A\Longleftarrow B\).
Die erste Implikation \(A\implies B\) gilt. Die zweite Implikation \(B\implies A\) gilt nicht.
Daher ist \(A\Longleftrightarrow B\) nicht wahr.