Vereinfachung eines Gleichungsystems

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \frac{\alpha x_{1}^{(\alpha-1)} x_{2}^{(1-a)}}{(1-\alpha) x_{1}^{\alpha} x_{2}^{-a}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} \)
\( \frac{\alpha x_{2}}{(1-\alpha) x_{1}}=\frac{p_{1}}{p_{2}} \)
\( x_{2}=\frac{p_{1}}{p_{2}} \frac{1-\alpha}{\alpha} x_{1} \)

Problem/Ansatz:

Guten Tag, leider kann ich nicht die Schritte nachvollziehen wie hier gekürzt wurde. Könnte mir das jemand erklären?

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du eigentlich nur die Exponenten zu zerlegen und danach zu kürzen:$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\alpha x_1^{\alpha-1}x_2^{1-\alpha}}{(1-\alpha)x_1^\alpha x_2^{-\alpha}}=\frac{\alpha\cdot x_1^\alpha\cdot x_1^{-1}\cdot x_2^1\cdot x_2^{-\alpha}}{(1-\alpha)\cdot x_1^\alpha\cdot x_2^{-\alpha}}=\frac{\alpha\cdot \cancel{x_1^\alpha}\cdot x_1^{-1}\cdot x_2\cdot \cancel{x_2^{-\alpha}}}{(1-\alpha)\cdot\cancel{x_1^\alpha}\cdot\cancel{x_2^{-\alpha}}}=\frac{\alpha\cdot x_1^{-1}\cdot x_2}{(1-\alpha)}$$Jetzt solltest du noch wissen, dass ein Faktor über den Bruchstrich springt, indem sein Exponenten das Vorzeichen wechselt:$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{\alpha\cdot x_2}{(1-\alpha)\cdot x_1^{+1}}=\frac{\alpha}{(1-\alpha)\cdot x_1}\cdot x_2\quad\implies\quad x_2=\frac{p_1}{p_2}\cdot\frac{(1-\alpha)\cdot x_1}{\alpha}$$

Answer 2

Geht es hier wirklich um das, was Du in den Titel geschrieben hast? Ich finde irgendwie kein Gleichungssystem. Im Text der Aufgabe fehlt die Frage.

Answer 3

Was soll da erklärt werden?

Wo vorher \( \frac{x_2^{(1-\alpha)}}{x_2^{-\alpha}} \) stand, steht jetzt \( {x_2} \).

Da wurde einfach nur ein Potenzgesetz angemendet.

Auch die Veränderungen bei \(x_1\) entsprechen nur der Anwendung von Potenzgesetzen

Answer 4

Hier wird eine Gleichung nach x₂ aufgelöst. Dazu muss man wissen x₁^a-1=x₁^a·x₁^-1 und x₂^1-a=x₂·x₂^-a. Dann kürzt sich x₁^a und     x₂^-a und x₁ kann in den Nenner geschrieben werden. Der Rest ist einfach.