Aloha :)
Wir können \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\) faktorisieren, sodass$$A\colon f(x)=(x-3)(x+1)>0\qquad;\qquad B\colon x>3$$
(a) \(A\implies B\)\(\quad\otimes\)
Für \(x=-2\) ist \(f(-2)>0\), aber \(x<3\). Die Aussage ist daher falsch.
(b) \(B\implies A\)\(\quad\checkmark\)
Für \(x>3\) sind beide Faktoren von \(f(x)\) positiv, also ist \(f(x)\) positiv und \(A\) erfüllt.
(c) \(A\) ist notwendig für \(B\)\(\quad\checkmark\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (b).
(d) \(B\) ist hinreichend für \(A\)\(\quad\checkmark\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (b).
(e) \(A\) ist hinreichend für \(B\)\(\quad\otimes\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (a).
(f) \(B\) ist notwendig für \(A\)\(\quad\otimes\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (a).
(g) \(\lnot B\implies\lnot A\)\(\quad\otimes\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (a).
(h) \(\lnot A\implies\lnot B\)\(\quad\checkmark\)
Diese Aussage ist äquivalent zu (b).
Du kannst dir merken: Der Pfeil zeigt vom Hinreichenden weg und zum Notwendigen hin:$$\boxed{\text{hinreichend}\implies\text{notwendig}}$$
