Zur Gleichmächtigkeit von \(\mathbb{R}\) und \((0,1)\)
Betrachte die Abbildung \(f:\;\mathbb{R}\rightarrow (-1,1), \; x\mapsto \frac{x}{1+|x|}\).
Diese Abbildung ist eine Bijektion, wie man "leicht" nachweisen kann.
Ferner betrachten wir die Funktion \(g:\; (-1,1)\rightarrow (0,1),\; x\mapsto \frac{1}{2}(x+1)\).
Auch diese Abbildung ist offenbar eine Bijektion.
\(g\circ f:\; \mathbb{R}\rightarrow (0,1)\) ist dann eine Bijektion und damit
ist die Gleichmächtigkeit von \(\mathbb{R}\) und \((0,1)\) gezeigt.
Zum Nachweis der Gleichmächtigkeit von \((0,1)\) mit \(P(\mathbb{N})\)
mache ich mir angesichts der vielen Spezialfälle das Leben leichter:
Betrachte die offenbar injektive Abbildung
\(h:\; P(\mathbb{N})\rightarrow (0,1)\) definiert durch
\(h(M)=10^{-1}+\sum_{i \in M}10^{-(i+2)}\).
Dies ist eine injektive Abbildung, aus der sich \(|P(\mathbb{N})|\leq |(0,1)|\)
ergibt. Andererseits ist \(P(\mathbb{N})\) überabzählbar,
d.h. \(|\mathbb{N}|<|P(\mathbb{N})|\leq |(0,1)|=c\).
Gemäß der Continuumhypothese ist daher \(|P(\mathbb{N})|= |(0,1)|\).
