Bestimmen sie die Transformationsmatrix bezüglich der Basis

Question

Gegeben sein eine lineare Abbildung a : R² -> R³  sodass

a(b1+b2) = c2+ c3

a(b1-b2) = 2c1-c2+3c3

Bestimmen sie die Transformationsmatrix bezüglich der Basis

https://mml-book.github.io/book/mml-book.pdf

kapitel 2 aufgabe 2.20d

sobald ich weiß kann man die matrix ablesen, man muss die gleichung rechts als matrix aufschreiben und transponieren aber gibt es eine andere art die zu lösen ?

Comments

müsste es haben, die Koordinaten der a(bk), die wir als linear kombination bezüglich C schreiben sind die k spalte der Transformationsmatrix, sowie ich das verstanden habe.

wäre gut wenn einer sagt ich liege richtig ?

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Ja, das ist richtig.

Answer 1

a(b1+b2) = c2+ c3

a(b1-b2) = 2c1-c2+3c3

==>  a( b1+b2 + b1 -b2 ) =( c2+ c3)+(2c1-c2+3c3)

==>   a(2b1) = 2c1 + 0c2 +4c3

==> a(b1) = c1 + 0c2 +2c3

also 1. Spalte der Matrix

1
0
2

Entsprechend folgt

a( (b1+b2)-(b1-b2)) = ( c2+ c3)-(2c1-c2+3c3)

==> a(2b2) = -2c1 + 2c2 -2c3

==> a(b2) = -1c1 + 1c2 - 1c3

also die ganze Matrix

1        -1
0         1
2        -1

Comments

geht das auch anders ?

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mein fehler war, dass meine methode nur ging, wenn der parameter bereits der basisvektor ist aber weil dies nicht der fall war, musste ich auf diesen kommen

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ich dachte man könnte die matrix direkt ablesen aber das gilt nur wenn die alle basisvektoren selbst als parameter angegeben werden, hier war dies nicht der fall deswegen mussten wir durch die regeln für lineare abbildungen umformen oder?

glaube da ist kleiner fehler bei deiner rechnung wenn du a(2b2) hast kannst du 2*a(b2) machen (regeln für lineare abbildung) und das gilt dann für den rechten tem auch und nach umformen kannst du die zwei wegkreuzen und erhlst saubere werte aber! aber das ist glaube ich unwichtig meine frage oben wäre wichtiger für mich momentan ?