Aloha :)
Für \(a=0\) lautet die Funktion \(f(k)=k+1\) und die Nullstelle liegt bei \(k=-1\).
Im Folgenden sei nun \(a\ne0\) vorausgesetzt:$$\left.f(k)=0\quad\right|\text{Funktionsterm einsetzen}$$$$\left.ak^2+k+1=0\quad\right|-1$$$$\left.ak^2+k=-1\quad\right|\colon a$$$$\left.k^2+\frac ka=-\frac 1a\quad\right|\text{quadratische Ergänzung addieren}$$$$\left.k^2+\frac ka+\frac{1}{4a^2}=\frac{1}{4a^2}-\frac 1a\quad\right|\text{1-te binomische Formel}$$$$\left.\left(k+\frac{1}{2a}\right)^2=\frac{1}{4a^2}-\frac {4a}{4a^2}\quad\right|\sqrt{\cdots}$$$$\left.k+\frac{1}{2a}=\pm\sqrt\frac{1-4a}{4a^2}\quad\right|-\frac1{2a}$$$$\left.k=-\frac{1}{2a}\pm\sqrt\frac{1-4a}{4a^2}\quad\right.$$Beachte, dass die Wurzel nur existiert, wenn der Radikand \(\ge0\) ist, wenn also \(1-4a\ge0\) bzw. \(a\le\frac14\) ist.
Weil du \(k\) anstelle von \(x\) geschrieben hast, vermute ich, dass \(k\) vielleicht eine ganze Zahl sein soll. Dann gibt es für \(a=-2\) die ganzzahlige Lösung \(k=1\).
