Zeigen |x+1|-|x-4| < 0 ? (ana1)

Question

(Analysis 1)

Aufgabe:

Für welche x in den reellen Zahlen, gilt:

a) |x+1|-|x-4|<0 ?

b) |x-1|*|x-4| ≥ 2 ?

Problem/Frage:

Ich habe die Aufgabe gelöst, nur wollte ich wissen, ob meine Schritte, die ich gesetzt habe, die Richtigen sind :D

Bei a) habe ich mit dem Assoziativgesetz argumentiert und habe gezeigt, dass x-x=0 und somit für jedes x in den reellen Zahlen die Ungleichung erfüllt ist, da für jedes x immer -3 rauskommt.

Bei b) habe ich die Ungleichung in 2 Fälle unterteilt:

Einmal für >2 und einmal für =2.

Für den ersten Fall habe ich raus: ∀x∈ℝ\{1,-2} und für den zweiten Fall habe ich: Für x= 1,562 und x=-2,562

Für den zweiten Fall habe ich jedoch keine Gesetze angewandt und weiß daher nicht genau, ob es zielführend ist. Ich weiß generell nicht ganz, was für ein Lösungsweg gefragt ist, daher wollte ich hier mal fragen, ob meine Lösungen so richtig sind und ob ich einen bestimmten Lösungsweg hervorbringen muss.

Bei b) könnte ich für größer 2 z.B. extra noch mit einer Induktion argumentieren, aber ich weiß nicht, ob das notwendig ist.

Würde mich über Hilfe sehr freuen ^^

Answer 1

Deine Überlegungen sind leider falsch.

Du musst unterscheiden, für welche Werte die Ausdrücke zwischen den Betragsstrichen positiv oder negativ werden.

Bei a) also

|x+1|-|x-4|<0

x < -1 → -(x+1)-(-(x-4))=-1-4=-5<0

-1≤ x < 4 → x+1-(-(x-4))=2x-3<0 → x<1,5

x > 4 → x+1-(x-4)=5 > 0

Ergebnis: Die Ungleichung ist für x<1,5 erfüllt.

☺

Erläuterung:

Für a<0 ist |a|=-a.

Für a≥0 ist |a|=a.

Zu b)

|x-1|*|x-4| ≥ 2

|(x-1)*(x-4)|≥2

|x^2-5x+4|≥2

Jetzt Fallunterscheidungen

...

Comments

Und wie genau arbeitet man damit weiter?

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Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast, um es ausführlicher zu gestalten, das bringt mich weiter!

Answer 2

|x+1|-|x-4|<0
|x+1| < |x-4| | quadrieren
Auf beiden Seiten steht positives.
Durch quadrieren ändert sich das Relationszeichen
nicht.
( x+ 1)^2 < ( x-4)^2
x^+ 2x + 1 < x^2 - 8x + 16
2x + 8x < 15
10x < 15
x < 1.5

Comments

Dafür bekommst du einen "Daumen hoch" von mir.

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Das Ergebnis müsste noch überprüft werden, da keine Äquivalenzumformung

vorliegt.

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Danke dir.
Ein alter Indianertrick der manchmal
das Rechnen mit Fallunterscheidungen
ersparen kann.

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Genügt nicht

positiv1 < positiv2

dann folgt
( positiv1)^2 < (positiv2)^2

Answer 3

a) 3 Fälle:

1. x<-1

2. -1<=x<4

3. x>=4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx%2B1%7C-%7Cx-4%7C%3C0

b) 3 Fälle:

x < 1

1<=x<4

x >4

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cx-1%7C*%7Cx-4%7C%3E%3D2

Steht da wirklich ein MAL zwischen den Beträgen?

Comments

Danke erstmal!

Und ja, da steht wirklich ein mal zwischen den Beträgen bei b) :D

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Wie zeigt man jetzt die Fälle, die du da angegeben hast?^^

Answer 4

Löse die Gleichungen b) (x-1)·(x-4)= 2 und (1-x)·(x-4)= 2. Die vier Lösungen teilen das Intervall (-∞, ∞) in drei Bereiche. Mach eine Punktprobe, um die Lösungsbereiche zu erkennen.

Comments

Punktprobe reicht her nicht aus.

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x_1/2=\( \frac{5±\sqrt{17}}{2} \).

Answer 5

a) |x+1|-|x-4|<0

|x+1|<|x-4||\( ^{2} \)

x^2+2x+1<x^2-8x+16

10x<15

x<1,5