Aussage beweisen, Cosinus

Question

Aufgabe:

Seien θ ∈ ℝ und z ∈ ℂ \ {0} mit:

z+1/2=2cos{θ}.

Beweise, dass zⁿ+z^-n=2cos{nθ} für alle n ∈ ℤ.

Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Kann mir einer bitte helfen?

Answer 1

Fehlt da vielleicht ne Voraussetzung, etwa |z|=1 und es ist nicht z+1/2 sondern

z+ 1/z.

Dann verwende z= cos(θ)+i*sin(θ).

Dann ist 1/z = cos(θ)-i*sin(θ)

Denn das Produkt der beiden ist ( 3. binomi. Formel) = 1

Und die Summe in der Tat  2cos(θ).

Comments

Achso tut mir leid, ja in der Aufgabe steht z+1/z aber zu der Aufgabe steht nicht |z|=1

Also muss ich rechnen:

cos(θ)+isin(θ)+cos(θ)-isin(θ)?

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Also muss ich rechnen:

cos(θ)+isin(θ)+cos(θ)-isin(θ)?

genau, und das gibt 2cos(θ)

Für |z| ≠1 stimmt die Aussage übrigens nicht.

Vielleicht war ja auch z= cos(θ)+i*sin(θ)

schon vorgegeben ???

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Okay dankeschön