Bestimmen Sie das komplexe Kurvenintegral

Question

Aufgabe:

Es sei die γ die Kurve mit Anfangspunkt in 0 und Endpunkt in 1+i, die entlang der Parabel x^2 verläuft. Bestimmen Sie das komplexe Kurvenintegral

\( \int\limits_{γ}z^\ast\, dz \)

Ansatz:

Grundsätzlich bin ich mit der Berechnung des Kurvenintegrals gut vertraut, jedoch weiß ihc nicht, wie das mit der Parabel x^2 gemeint ist.

Answer 1

Aloha :)

In der Gauß'schen Zahlenebene \(\mathbb R^2\) wird die komplexe Zahl \(\mathbb C\ni z=x+iy\) mit \(x,y\in\mathbb R\) als Ortsvektor \(\binom{x}{y}\) dargestellt. Die komplex-konjugierte Zahl \(z^\ast=x-iy\) ist \(\binom{x}{-y}\).

Der Weg \(\gamma\) führt in der Gauß'schen Zahlenebene vom Punkt \((0|0)\) zum Punkt \((1|1)\) entlang einer Parabel \(y=x^2\). Diesen Weg können wir wie folgt parametrisieren:$$\gamma\colon\binom{x}{y}=\binom{t}{t^2}\quad;\quad t\in[0;1]$$

Das Kurvenintegral lautet daher:$$I=\int\limits_0^1z(t)\,\frac{dz}{dt}\,dt=\int\limits_0^1\binom{t}{-t^2}\cdot\binom{1}{2t}\,dt=\int\limits_0^1\left(t-2t^3\right)dt=\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^4}{2}\right]_0^1=0$$

Comments

Hallo,

diese Antwort ist falsch. Wenn es um das komplexe Kurvenintegral geht, dann

$$\int_{\gamma} z^{\ast} dz=\int_0^1(t-t^2i)(1+2ti)dt$$

Gruß Mathhilf

Answer 2

Gemeint dürfte

\(\gamma:[0,1]\rightarrow \mathbb{C},\; t\mapsto t+t^2i\)

sein.

Comments

Wie kommen Sie aber drauf?

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Der Graph der Standard-Parabel ist bekanntermaßen

\(\{(t,t^2): \; t\in \mathbb{R}\}\)