Aufgabe: In diesem nichtlinearen Gleichungssystem, welches für die Positionsbestimmung mit dem GPS verwendet wird, sollen die Koordinaten x, y und z von e (Empfänger), sowie der Zeitfehler Delta t berechnet werden. Die restlichen Werte sind bekannt.
$$c * (t_{1} + \Delta t)^2 = (x_{1}-x_{e})^2 + (y_{1}-y_{e})^2 + (z_{1}-z_{e})^2 \\ c * (t_{2} + \Delta t)^2 = (x_{2}-x_{e})^2 + (y_{2}-y_{e})^2 + (z_{2}-z_{e})^2 \\ c * (t_{3} + \Delta t)^2 = (x_{3}-x_{e})^2 + (y_{3}-y_{e})^2 + (z_{3}-z_{e})^2 \\ c * (t_{4} + \Delta t)^2 = (x_{4}-x_{e})^2 + (y_{4}-y_{e})^2 + (z_{4}-z_{e})^2$$
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, ich beschäftige mich aktuell mit der Mathematik hinter dem GPS und komme bei diesem Gleichungssystem nicht weiter. Ich habe sehr lange recherchiert und nirgendwo eine wirkliche Lösung des Systems gefunden. Hier eine kleine Erklärung der Formelzeichen:
c ist die Lichtgeschwindigkeit
t ist die bekannte Laufzeit der Signale des Satelliten (Sendezeitpunkt bis zum Empfangszeitpunkt am Empfänger)
Delta t ist der Zeitfehler, da Satellitenuhren nicht mit Empfängeruhren synchron sind (Delta t ist unbekannt)
x, y und z von e sind die Koordinaten des Empfängers, die unbekannt sind und berechnet werden müssen
x, y und z sind die Koordinaten der Satelliten 1-4 und sind bekannt
Meine einzigen Ansätze sind das Lösen mit dem Jacobi Verfahren oder mit dem Newton Verfahren (also iterativ), wobei ich selbst da unsicher bin. Könnte mir irgendjemand mit mehr Erfahrung im Thema einen Ansatz vorstellen?
Danke im voraus für die Hilfe!
