Koeffizienten bestimmen, Monom

Question

kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen?

Bestimmen Sie im Ausdruck (x+y²+z)¹⁵ die Koeffizienten vor den Monomen x⁶y¹⁰z⁴, x⁵y⁸z⁶ und

x⁶y⁸z⁶

^{(Ich weiß, dass es diese Frage hier schon von jemand anderes vor paar Jahren gestellt wurde, aber leider verstehe ich die Erklärungen dazu nicht?)}

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns der Ausdruck: \(\left(x+y^2+z\right)^{15}=\underbrace{(x+y^2+z)\cdots(x+y^2+z)}_{\text{15 Faktoren}}\)

zu a) Bei dem Monom \(x^6y^{10}z^4\) müssen wir

aus den 15 Faktoren 6-mal \(x\) auswählen: \(\binom{15}{6}=5005\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 9 Faktoren 5-mal \(y^2\) auswählen: \(\binom{9}{5}=126\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 4 Faktoren 4-mal \(z\) auswählen: \(\binom{4}{4}=1\) Möglichkeit

Das ergibt den Vorfaktor: \(630\,630\).

zu b) Bei dem Monom \(x^5y^{8}z^6\) müssen wir

aus den 15 Faktoren 5-mal \(x\) auswählen: \(\binom{15}{5}=3003\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 10 Faktoren 4-mal \(y^2\) auswählen: \(\binom{10}{4}=210\) Möglichkeiten,

aus den verbliebenen 6 Faktoren 6-mal \(z\) auswählen: \(\binom{6}{6}=1\) Möglichkeit

Das ergibt den Vorfaktor: \(630\,630\).

zu c) Das Monom \(x^6y^{8}z^6\) kommt nicht vor. Wir müssten 6-mal \(x\) auswählen, 4-mal \(y^2\) und 6-mal \(z\). Dafür bräuchten wir 16 Faktoren, haben aber nur 15.

Comments

Wie kommt man bei a) auf die 5 und die 4? :)

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Du kannst aus jeder der 15 Klammern entweder ein \(x\), ein \(y^2\) oder ein \(z\) auswählen.

Für das Monom \(x^6y^{10}z^4\) bzw. \(x^6(y^2)^5z^4\) brauchst du:

6-mal ein \(x\), und hast dann noch 9 Klammern nicht angefasst.

5-mal ein \(y^2\), und hast dann noch 4 Klammern nicht angefasst.

4-mal ein \(z\)

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servus, und wie mache ich das dann, wenn das polynom eine zahl vorher stehen hat, z.b. (3x + 4y^2 + 12z)^15

lg