Aloha :)
Um ein Gefühl für die Aufgabe zu kriegen, schauen wir uns den Graphen der Funktion an:
~plot~ x^3-x ; [[0|2,2|-1|8]] ~plot~
zu a) Im ersten Teil sollen wir die Fläche im 4-ten Quadranten bestimmen. Dazu brauchen wir die Nullstellen:$$f(x)=x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$$Die Funktion hat die Nullstellen bei \(-1\), \(0\) und \(+1\). Im 4-ten Quadranten ist \(x\ge 0\) und \(y\le 0\). Für \(x\ge0\) sind die Faktoren \(x\) und \(x+1\) ebenfalls \(\ge0\). Damit die Funktion negativ ist, muss also \((x-1)<0\) sein, also \(x<1\). Die gesuchte Fläche ist also:
$$F_a=\left|\int\limits_0^1f(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_0^1\left(x^3-x\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_0^1\right|=\left|\frac14-\frac12\right|=\frac14$$
zu b) Nun müssen wir zusätzlich zu der Fläche aus Teil (a) noch die Fläche zwischen \(x=1\) und \(x=2\) addieren:$$F_b=F_a+\int\limits_1^2\left(x^3-x\right)dx=\frac14+\left[\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac14+\left(\frac{16}{4}-\frac42\right)-\left(\frac14-\frac12\right)=\frac52$$
