Nachweis Rekursionsformel: ∫sin^n(x) dx = -(1/n)*sin^{n-1}(x)*cos(x)+((n-1)/n)*∫ sin^{n-2} (x) dx

Question

Ich bekomme einfach nicht folgende Formel nachgewiesen: die stammfunktion von sin^n = -(1/n)*sin^{n-1}*cos+((n-1)/n)*integral von sin^{n-2} waere nett wenn ihr mir helfen koenntet. :-) LG

 ∫sinⁿ(x) dx = -(1/n)*sin^n-1(x)*cos(x)+((n-1)/n)*∫ sin^n-2(x) dx wobei  n∈Ν

Comments

Vollstaendige Induktion dann Partielle Integration

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  stimmt die Formel sinⁿ = -(1/n)*sin^n-1*cos+((n-1)/n)*integral von sin^n-2

  Was ist  " *cos+ " ? Cos von was ?

  mfg Georg

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Bitte Formel nochmals vollständig angeben.

EDIT: Formel oben angefügt.
@Fragesteller: Beweisplan von qarim befolgen.

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das ganze ist immer abhängig von x -> "*cos(x)" 

ja das stimmt ∫sinⁿ(x) dx = -(1/n)*sin^n-1(x)*cos(x)+((n-1)/n)*∫ sin^n-2(x) dx

zumindest steht es so in meinem mathebuch

Man kann vielleicht noch dazu sagen dass n∈Ν

sorry für diese unklarheiten

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Soll vermutlich heißen$$\int\sin^nx\mathrm dx=-\frac1n\left(\sin^{n-1}x\cdot\cos x\right)+\frac{n-1}n\cdot\int\sin^{n-2}x\mathrm dx.$$

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genau ^^                                                    .

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ok habs nun heraus

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Falls jemand die Rechnung interessiert :
∫ sin^n(x) dx = -(1/n)·cos(x)·sin^{n-1}(x) + [(n-1)/n]· ∫ sin^{n-2}(x) dx

Produktregel:
∫u·v'= u·v-∫u'·v

u = sin^{n-1}(x) => u' = (n-1)·cos(x)·sin^{n-2}(x)
v' = sin(x) => v = -cos(x)

Durch Faktorisieren kommt man nun auf:
∫ sin(x)·sin^{n-1}(x) dx = ∫ sin^n(x) dx

= -cos(x)·sin^{n-1}(x) - ∫ -cos(x)·(n-1)·cos(x)·sin^{n-2}(x) dx
= -cos(x)·sin^{n-1}(x) + (n-1)· ∫ cos²(x)·sin^{n-2}(x) dx  //cos²(x) = 1 - sin²(x)

= -cos(x)·sin^{n-1}(x) + (n-1) · ∫ (1 - sin²(x)) ·sin^{n-2}(x) dx

= -cos(x)·sin^{n-1}(x) + (n-1) ·( ∫ sin^{n-2}(x) dx - ∫ sin^n(x) dx )  // + (n-1)∫ sin^n(x) dx

(1 + (n -1)) ∫ sin^n(x) dx = -cos(x)·sin^{n-1}(x) + (n-1)· ∫ sin^{n-2}(x) dx //:n

∫ sin^n(x) dx =  -(1/n)·cos(x)·sin^{n-1}(x) + [(n-1)/n]· ∫ sin^{n-2}(x) dx

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Bravo! Habe das soeben zur Antwort gemacht.

Answer 1

Kopie aus dem Kommentar, da in diesem Fenster besser lesbar. (Hoffe, dass alle Exponenten richtig sind)

Falls jemand die Rechnung interessiert :
∫ sinⁿ(x) dx = -(1/n)·cos(x)·sin^n-1(x) + [(n-1)/n]· ∫ sin^n-2(x) dx

Produktregel:
∫u·v'= u·v-∫u'·v

u = sinn-1(x) => u' = (n-1)·cos(x)·sin^n-2(x)
v' = sin(x) => v = -cos(x)

Durch Faktorisieren kommt man nun auf:
∫ sin(x)·sin^n-1(x) dx = ∫ sinⁿ(x) dx

= -cos(x)·sin^n-1(x) - ∫ -cos(x)·(n-1)·cos(x)·sin^n-2(x) dx
= -cos(x)·sin^n-1(x) + (n-1)· ∫ cos²(x)·sin^n-2(x) dx  //cos²(x) = 1 - sin²(x)

= -cos(x)·sin^n-1(x) + (n-1) · ∫ (1 - sin²(x)) ·sin^n-2(x) dx

= -cos(x)·sin^n-1(x) + (n-1) ·( ∫ sin^n-2(x) dx - ∫ sinⁿ(x) dx )  // + (n-1)∫ sinⁿ(x) dx

(1 + (n -1)) ∫ sinⁿ(x) dx = -cos(x)·sin^n-1(x) + (n-1)· ∫ sin^n-2(x) dx //:n

∫ sinⁿ(x) dx =  -(1/n)·cos(x)·sin^n-1(x) + [(n-1)/n]· ∫ sin^n-2(x) dx

Comments

Wie kommt man an der Stelle (1+(n-1)) auf die 1+? kann ich leider nicht ganz nachvollziehen

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Bin auf die Lösung gekommen. Danke trotzdem

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nun muss ich aber auch mal die frage stellen wie man auf (1+(n-1)) kommt. ich kann es nicht nachvolllzizehen.

Und warum ist 1-sin²x = sinⁿx ?