Komplexe Zahlen und F7

Question

Aufgabe:

Aufgabe 4.

a) Sei K ein Körper und a,b ∈K.
Beweisen Sie: Wenn a ·b = 0 ist, dann ist a = 0 oder b = 0.

Anmerkung: Dies ist eine typische Rechenregel für Körper, die z.B. das Finden von Null-
stellen erleichtert, die aber außerhalb von K örpern nicht unbedingt wahr sein muss. Wenn
man beispielsweise modulo 8 rechnet, ist 2 ·4 = 0. Ebenso gibt es reelle Matrizen A,B, so
dass A ·B eine Nullmatrix ist. Die Berechnung von Nullstellen ist in solchen Fällen sehr
viel schwerer.

In R gilt: a3 = b3 ⇒ a = b. Dies ist aber in anderen Körpern manchmal falsch.
b) Finden Sie ein Gegenbeispiel in C.
c) Finden Sie ein Gegenbeispiel in F7.

Problem/Ansatz: "Wenn a ·b = 0 ist, dann ist a = 0 oder b = 0." Das kann man ja indirekt beweisen indem man einfach zeigt, dass wenn a ≠ 0 UND b ≠ 0 sind, dass dann a*b ≠ 0 sind oder? Ansonsten kann man per Wahrheitstafel nachweisen, dass sonst alles wahr ist.

Kann wer schonmal Tips oder einen Tip bei der b) geben?

Answer 1

a) Es ist \(z\cdot 0 = 0\) für alle \(z\in K\). Schau in deinen Unterlagen nach, ob und wo das bewiesen wurde.

Ist \(a\cdot b = 0\) mit \(b\neq 0\), dann ist \(a = 0\cdot b^{-1}\), also \(a = 0\) wegen obigem Satz.

b) Bei der Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Argumente addiert und die Beträge multipliziert.

Finde damit ein \(x\neq 1\), so dass \(x^3 = 1^3\) ist.

wenn a ≠ 0 UND b ≠ 0 sind, dass dann a*b ≠ 0 sind

Hätte man diese Aussage gezeigt, dann wäre a) damit gelöst. Ich sehe jetzt aber keinen Weg, von dem Ansatz "Seien \(a \neq 0\) und \(b\neq 0\)" ausgehend direkt zu zeigen, dass \(a\cdot b\neq 0\) ist.

Ansonsten kann man per Wahrheitstafel nachweisen, dass sonst alles wahr ist.

Meinst du die hier?

\(a=0\)	\(b=0\)	\(a\cdot b=0\)
nein	nein
nein	ja
ja	nein
ja	ja

Letztendlich musst du beweisen, dass nur in der ersten Zeile ein nein steht.

Answer 2

In \(\mathbb{F}_7\) hat die Gleichung \(x^3=1^3\) drei verschiedene Lösungen.