Untersuche die Reihe

Question

Aufgabe:

$\sum\limits_{k=2}^{\infty}{}$  $\frac{k+1}{4k^3-3}$

Problem/Ansatz:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder
Divergenz. Geben Sie im Fall der Divergenz an, ob bestimmte Divergenz gegen ∞, be-
stimmte Divergenz gegen −∞ oder unbestimmte Divergenz vorliegt.

Comments

Hallo

finde eine konvergierende Majorante.

lul

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Das CAS liefert sogar eine Kontrolllösung:

Answer 1

Aloha :)

Wenn man den Nenner eines Bruches verkleinert, wird der Bruch größer, daher gilt:$$\frac{k+1}{4k^3-3}<\frac{k+1}{4k^3-4}=\frac{k+1}{4(k^3-1)}=\frac{k+1}{4(k-1)(k^2+k+1)}$$Ein Bruch wird größer, wenn sein Zähler vergrößert wird:$$\qquad<\frac{k+1+\frac1k}{4(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{\frac1k\cdot(k^2+k+1)}{4(k-1)(k^2+k+1)}=\frac{1}{4k(k-1)}=\frac{1}{4}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)$$

Damit gilt folgende Abschätzung:$$\sum\limits_{k=2}^N\frac{k+1}{4k^3-3}<\sum\limits_{k=2}^N\frac{1}{4}\left(\frac1{k-1}-\frac1k\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k-1}-\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k}\right)=\frac14\left(\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac1{k}-\sum\limits_{k=2}^N\frac1{k}\right)$$$$\qquad=\frac14\left( \left( \frac11+\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac1k\right)-\left(\sum\limits_{k=2}^{N-1}\frac1k+\frac1N \right) \right)=\frac14\left(1-\frac1N\right)$$

Also konvergiert die Reihe und es gilt:$$\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{k+1}{4k^3-3}\le\frac14$$