Mengen, surjektiv, injektiv

Question

Es seien A und B zwei Mengen sowie f : A → B eine Abbildung. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Falls es eine Abbildung g : B → A mit f ◦ g = idB gibt, so ist f surjektiv.

(b) Falls es eine Abbildung h: B → A mit h ◦ f = idA gibt, so ist f injektiv.

(c) Falls es Abbildungen g : B → A mit f ◦ g = idB und h: B → A mit h ◦ f = idA gibt, soist f bijektiv und es gilt g = h.

Wie kann ich das zeigen ? Bei mir kommt bei a z.B nie raus dass f dann zwangsläufig Surjektiv ist, b) ist bei mir dafür Surjektiv und bei c) komme ich gar nicht weiter.

Bin über jede Hilfe mit Erklärung/Rechenweg sehr sehr dankbar

Answer 1

(a) Falls es eine Abbildung g : B → A mit f ◦ g = idB gibt, so ist f surjektiv.

Sei $g:B\to A$ mit $f\circ g = \operatorname{id}_B$.

Sei $b\in B$.

Begründe dass es ein $a\in A$ gibt, so dass $f(a) = b$ ist.

(b) Falls es eine Abbildung h: B → A mit h ◦ f = idA gibt, so ist f injektiv.

Sei $h:B\to A$ mit $h\circ f = \operatorname{id}_A$.

Seien $a_1,a_2 \in A$.

Sei $b \in B$ mit $f(a_1) = b$ und $f(a_2) = b$.

Begründe dass dann $a_1 = a_2$ ist.

(c) Falls es Abbildungen g : B → A mit f ◦ g = idB und h: B → A mit h ◦ f = idA gibt, soist f bijektiv und es gilt g = h.

Das ist einfache Folgerung aus (a) und (b)