Bestimmen Sie das Maximum der Menge

Question

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Bestimmen Sie das Maximum der Menge
\( A:=\left\{\log \left(x_{1} x_{2}\right)-x_{1}-x_{2}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \in[0.5,2]^{2}\right\} \)
d. h. dasjenige \( x \in A \), für das \( x \geq y \) für alle \( y \in A \) gilt. Sie können dabei davon ausgehen, dass das Maximum eindeutig ist und in der Teilmenge \( \left\{\log \left(x_{1} x_{2}\right)-x_{1}-x_{2}:\left(x_{1}, x_{2}\right) \in(0.5,2)^{2}\right\} \) von \( A \) liegt.

Answer 1

Die partiellen Ableitungen sind (mit x y statt x1 x2 )

von der Funktion f(x,y) = ln(xy)-x-y

1/x - 1    und  1/y - 1   . Beide sind 0 für (x;y)=(1;1).

Der Punkt liegt in dem betrachteten Bereich. Wenn es also in

dem Bereich ein lok. Maximum gibt, dann ist es dort.

Und wegen der Eindeutigkeit ist es das dann auch.

Es ist f(1,1)=-2 das lok. Max. im Inneren von [0,5 ; 2 ]^2 ,

also auch das globale.