Fragen zu Bernoulli-Experiment

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte bei folgender Aufgabe helfen? Ich bin mir dort nicht allzu sicher. Wie notiere ich überhaupt die Trefferwahrscheinlichkeit?

"Welche Ergebnisse kann man bei dem beschriebenen Zufallsversuch festlegen, damit er ein Bernoulli Versuch ist? Welches Ergebnis bezeichnen sie als Treffer ? Wie groß ist die Trefferwarscheinlichkeit?"

a) Werfen einer Münze

→ ist möglich; entweder Kopf oder Zahl
b) Werfen eines Würfels

→ ist nur ein Bernoulli-Experiment, wenn es um eine Bedingung erweitert wird (d.h. z. B. "fallen genau dreimal fünf")

c) Überprüfen einer Maschine
→ ist möglich; entweder funktionsunfähig oder funktionsfähig

d) Überprüfen der Wirkung einer Arznei

→ ist möglich; entweder wirkt es oder es wirkt nicht

Vielen Dank!

Answer 1

b)

Welche Ergebnisse kann man bei dem beschriebenen Zufallsversuch festlegen, damit er ein Bernoulli Versuch ist?

Ein Würfel wird geworfen und geprüft ob eine 6 geworfen wurde.

Welches Ergebnis bezeichnen sie als Treffer?

Treffer bezeichnet das Ereignis, dass eine 6 geworfen wurde.

Wie groß ist die Trefferwarscheinlichkeit?

p = 1/6

Comments

Vielen Dank.

Können Sie mir aber noch bitte bei den Teilaufgaben c) und d) helfen? Dort bin ich mir nicht ganz sicher; ist ein Bernoulli-Experiment möglich oder nicht?

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Das hast du beides schon richtig gemacht. Du musst noch sagen was du als Treffer bezeichnest. Also z.B. wenn die Maschine funktioniert.

Die Trefferwahrscheinlichkeiten kannst du allerdings nicht angeben.

Answer 2

→ ist nur ein Bernoulli-Experiment, wenn es um eine Bedingung erweitert wird

Es ist immer möglich, die Ergebnisse so festzulegen, dass es sich um ein Bernoulli Versuch handelt.

Beim Wurf eines Würfels könnten zum Beispiel die Ergebnisse "die Augenzahl fünf wurde gewürfelt" und "eine andere Augenzahl als die fünf wurde gewürfelt" festgelegt werden.

Welches Ergebnis bezeichnen sie als Treffer ?

Das darfst du dir aussuchen.

Wie groß ist die Trefferwarscheinlichkeit?"

a) Die Trefferwarscheinlichkeit ist 1/2 wenn die Münze fair ist.

c) und d) können nicht berechnet werden, sondern werden aus statistischen Daten geschätzt.

Wie notiere ich überhaupt die Trefferwahrscheinlichkeit?

So wie ich das bei a) gemacht habe.

Comments

Herzlichen Dank.

Das bedeutet aber auch, dass ich keine Trefferwahrscheinlichkeit für b) angeben kann? Zumindest habe ich doch, je nach Bedingung, stets eine andere?

Und inwiefern werden c) und d) aus statistischen Daten geschätzt? Bzw. warum wären meine Annahmen z. B. falsch?

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Das bedeutet aber auch, dass ich keine Trefferwahrscheinlichkeit für b) angeben kann?

Nein, das bedeutet es nicht.

Zumindest habe ich doch, je nach Bedingung, stets eine andere?

Du hast unterschiedliche Trefferwahrscheinlichkeiten, je nach dem welches Ergebnis du als Treffer bezeichnest.

Und inwiefern werden c) und d) aus statistischen Daten geschätzt?

c) Man führt viele Beobachtungen durch. Man schätzt die Wahrscheinlichkeit für funktionsunfähig durch die relative Häufigkeit von funktionsunfähig.

Bzw. warum wären meine Annahmen z. B. falsch?

Welche Annahmen meinst du?

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Vielen Dank.

Welche Annahmen meinst du?

Ich frage mich nur, weshalb ich nicht auch ein Bernoulli-Experiment für c) und d) aufstellen kann. Ich kann doch für c) zum Beispiel sagen funktionsfähig oder funktionsunfähig - dann hat beides doch eine Wahrscheinlichkeit von 1/2? Oder warum funktioniert das nicht?

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weshalb ich nicht auch ein Bernoulli-Experiment für c) und d) aufstellen kann.

Kannst du. Die Vorschläge, die du in deiner Frage gemacht hast, machen aus Überprüfen einer Maschine und Überprüfen der Wirkung einer Arznei Bernoulli-Experimente.

dann hat beides doch eine Wahrscheinlichkeit von 1/2?

Dann würde ich mir schnellstmöglich einen Lottoschein kaufen. Entweder du hast sechs richtige, oder nicht. Bei einer Wahrscheinlichkeit von 1/2 hast du nach ein paar Wochen für dein Leben ausgesorgt und brauchst dich nicht mehr mit blöden Mathefragen beschäftigen. Und wenn doch, dann kannst du das an einem Strand deiner Wahl tun.

Leider ist es nicht ganz so einfach.

• Laplace-Experiment: alle Ergebnisse haben die gleiche Wahrscheinlickeit.
• Bernoulli-Experiment: es gibt nur zwei Ergebnisse.

Die beiden Arten von Experimenten kategorisieren nach unterschiedlichen Gesichtspunkten.

Beim Laplace-Experiment kannst du aus der Menge aller Ergebnisse die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse berechnen. Beim Bernoulli-Experiment geht das nicht.

Und bei Überprüfen einer Maschine geht das auch nicht.

Trotzdem haben Bernoulli-Experimente ihren Nutzen.

Beispiel. Ein Würfel wird fünf mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine 3 fällt.

Lösungsweg ist klar, Baumdiagramm mit fünf Ebenen.

Wenn du den Wurf eines Würfels als Laplace-Experiment modellierst, dann gibt es 6⁵ = 7776 Pfade, weil sich ja auf jeder Ebene die Anzahl der Blätter versechsfacht. Das Baumdiagramm möchte ich nicht zeichnen.

Man kann den Wurf eines Würfels aber auch als Bernoulli-Experiment modellieren. Auf jeder Ebene ist ja nur von Interesse, ob einer 3 gewürfelt wirde oder nicht. Das ergibt 2⁵ = 32 Pfade, was zeichnerisch gerade noch machbar ist. Der Wurf eines Würfels ist dann aber kein Laplace-Experiment mehr, weil die Wahrscheinlickeit von 3 geworfen und keine 3 geworfen unterschiedlich sind.