Wir sehen, dass
\( \begin{aligned} \left|\frac{1}{n} \sum \limits_{k=0}^{n} a_{k}-a\right| &=\left | \frac{1}{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(a_{k}-a\right)\right |=\left|\frac{1}{n}\left(\sum \limits_{k=0}^{N}\left(a_{k}-a\right)+\sum \limits_{k=N+1}^{n}\left(a_{k}-a\right)\right)\right|\right.\\ & \leq \frac{1}{n}\left|\sum \limits_{k=0}^{N}\left(a_{k}-a\right)\right|+\frac{1}{n}\left|\sum \limits_{k=N+1}^{n}\left(a_{k}-a\right)\right| \leq \frac{1}{n} \sum \limits_{k=N+1}^{N}\left|a_{k}-a\right|+\frac{1}{n} \sum \limits_{k}^{n}\left|a_{k}-a\right| \end{aligned} \)
Nun weisst du ja, dass \( \left|a_{n}-a\right| \leq M \) für irgendein \( M \), da \( a_{n} \) konvergiert. Unser Ziel ist es, für ein beliebiges \( \epsilon>0 \) ein \( N>0 \) zu finden, sodass für alle \( n>N \) der obige Ausdruck kleiner als dieses \( \epsilon \) ist. Wir wählen nun \( N_{1} \) so, dass gilt
\(\begin{aligned} \forall n \geq N_{1}:\left|a_{n}-a\right|<\frac{\epsilon}{2}\end{aligned} \)
und somit ist die zweite Summe
\(\begin{aligned} \frac{1}{n} \sum \limits_{k=N_{1}+1}^{n}\left|a_{k}-a\right|<\frac{\left(n-N_{1}-1\right) \epsilon}{2 n} \leq \frac{\left(n-N_{1}\right) \epsilon}{2 n}=\frac{\epsilon}{2}-\frac{N_{1} \epsilon}{2 n}\end{aligned} \)
und die erste Summe
\(\begin{aligned} \frac{1}{n} \sum \limits_{k=0}^{N}\left|a_{k}-a\right| \leq \frac{N_{1} \cdot M}{n}\end{aligned} \)
Dieses \( N_{1} \) haben wir nun fixiert (für das beliebige \( \epsilon \) ). Nun wählen wir \( N_{2} \) so, dass für alle \( n>N_{2} \) gilt
\(\begin{aligned} \frac{N_{1} \cdot M}{n}<\frac{\epsilon}{2}\end{aligned} \)
Dann gilt:
\( \begin{aligned} \forall n>\max \left\{N_{1}, N_{2}\right\}: \frac{1}{n} \sum \limits_{k=0}^{N_1}\left|a_{k}-a\right|+\frac{1}{n} \sum \limits_{k=N_1+1}^{n}\left|a_{k}-a\right|<\frac{N_{1} \cdot M}{n}+\frac{\epsilon}{2}-\frac{N_{1} \epsilon}{2 n} \\ <\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}-\underbrace{\frac{N_{1} \epsilon}{n}}_{\leq 1} \leq \epsilon \end{aligned} \)
