Aloha :)
Wir sollen untersuchen, für welche \(\lambda\) die beiden Vektoren:$$\lambda\vec v_1+\vec v_2\quad;\quad\vec v_1+\lambda\vec v_2$$linear unabhängig sind. Wir gehen den umgekehrten Weg und untersuchen, für welche \(\lambda\) die beiden Vektoren linear abhängig sind. Bei zwei Vektoren bedeutet lineare Abhängigkeit, dass sie bis auf einen konstanten Faktor \(c\ne0\) gleich sind:$$\lambda\vec v_1+\vec v_2=c\cdot\left(\vec v_1+\lambda\vec v_2\right)\quad;\quad c\ne0$$Das können wir umstellen:$$(\lambda-c)\vec v_1=(c\lambda-1)\vec v_2$$Da nach Voraussetzung die beiden Vektoren \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\) linear unabhängig sind, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn beide Klammern \(=0\) ergeben:$$\lambda-c=0\quad\text{und}\quad c\lambda-1=0$$Aus der ersten Gleichung folgt sofort \(c=\lambda\), was wir in die zweite Gleichung einsetzen, um \(\lambda^2-1=0\) mit den Lösungen \(\lambda=\pm1\) zu erhalten.
Für \(\lambda=\pm1\) sind die beiden Vektoren also linear abhängig. Das heißt, für alle anderen Werte von \(\lambda\) sind sie linear unabhängig.
