Wie kann man Gleichheiten bei Abbildungen bzw. Urbildern beweisen?

Question

Hallo Leute! Ich bin sehr verzweifelt mit folgender Aufgabe...

Aufgabe:

Seien \(M, N\) Mengen und \(f: M \to N\) eine Abbildung. Seien \(M_1, M_2 \subseteq M\), sowie \(N_1, N_2 \subseteq N\). Beweisen oder widerlegen Sie durch ein Gegenbeispiel:

c) \(f^{-1}(N_1 \cup N_2) = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2)\)

Problem/Ansatz:

Das Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich das formal korrekt aufschreiben soll geschweige denn wie ich da überhaupt rangehen soll.. Könnte mir jemand vielleicht diese Gleichheit formal vollständig aufschreiben, damit ich für die ähnlichen zukünftigen Aufgaben weiß, wie ich das aufschreiben kann? Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Wir zeigen die beidseitige Inklusion.

\( \begin{aligned} f^{-1}\left(N_{1} \cup N_{2}\right) \subseteq f^{-1}\left(N_{1}\right) \cup f^{-1}\left(N_{2}\right) &: \\ y \in f^{-1}\left(N_{1} \cup N_{2}\right) & \Longrightarrow y=f(x) \wedge x \in N_{1} \cup N_{2} \\ & \Longrightarrow y=f(x) \wedge\left(x \in N_{1} \vee x \in N_{2}\right) \\ & \Longrightarrow\left(y=f(x) \wedge x \in N_{1}\right) \vee\left(y=f(x) \wedge x \in N_{2}\right) \\ & \Longrightarrow\left(y \in f^{-1}\left(N_{1}\right)\right) \vee\left(y \in f^{-1}\left(N_{2}\right)\right.\\ & \Longrightarrow y \in f^{-1}\left(N_{1}\right) \cup f^{-1}\left(N_{2}\right) \end{aligned} \)
Man sieht dann leicht, dass in dem obigen Beweis die Pfeile auch umgedreht werden können, es gilt also die Äquivalenz. Als Übung kannst du natürlich noch die andere Inklusion zeigen, wirst aber schnell sehen, dass es einfach die obige rückwärtsgelesen ist. Mache dir auch klar, welche Mengentheoretischen Regeln ich angewendet habe.