Definiere die rekursive Folge

Question

Zu lösen ist folgende Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe B20
Definiere die rekursive Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) durch
\( a_{0}:=0, \quad a_{n+1}:=\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{4}, n \geq 1 \)
Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert

Kann mir bitte jemand erklären, wie ich eine solche Aufgabe löse? Mein Problem ist, dass n≥1 ist und ich deswegen nicht auf das den Wert des ersten Indexes der Zahlenfolgen komme, um damit das Monotonieverhalten dr Folge zu bestimmen.

Answer 1

Wir nehmen mal an, \( a_{n} \) konvergiere gegen \( a \). Dann gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=a \text { und } \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{4}\right) \Longleftrightarrow a=\frac{1}{2} a+\frac{1}{4} \)
Der Grenzwert muss also diese Bedingung erfüllen, wenn er existiert. Nun kannst du zeigen, dass die Folge konvergiert, indem du zeigst, dass sie beschränkt und monoton ist. Beides kannst du mit Inudktion zeigen. Nach Bolzano Weierstrass konvergiert die Folge dann, und du kannst den Grenzwert finden, indem du die obige Gleichung löst.

Comments

Vielen Dank für den Denkanstoß!

Doch ich verstehe nicht, wie man darauf kommt, bzw. woraus folgt, dass a = 0,5•a + 0,25 ist?

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Wenn du gezeigt hast, dass die Folge konvergiert, dann habe ich angenommen, sie konvergiere gegen \(a\). Nun weisst du ja, dass

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \)
Ausserdem gilt
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} a_{n}+\frac{1}{4}\right)=\left(\frac{1}{2} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}+\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2} a+\frac{1}{4} \)
Hier habe ich einfach nur die Rekursionsformel eingesetzt. Nun hast du einmal
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=a \)
und
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\frac{1}{2} a+\frac{1}{4} \)
was zusammen
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=a=\frac{1}{2} a+\frac{1}{4} \)
ergibt. Ich weiss natürlich noch nicht was \(a\) ist, aber ich weiss jetzt, dass es die obige Gleichung erfüllen muss, und damit kann ich es dann bestimmen.

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Ahhhh, jetzt habe ich’s verstanden. Wirklich vielen Dank für die Antwort!

Answer 2

Aloha :)

Hier fallen mir zwei Möglichkeiten ein:

1) Du kannst zeigen, dass die Folge beschränkt und monoton ist, denn solche Folgen sind konvergent. Dann kannst du den Grenzwert \(a\) bestimmen, vgl. dazu die Antwort von Liszt.

2) Du findest einen geschlossenen Ausdruck für \(a_n\) und bestimmst dessen Grenzwert.

Ich möchte hier den zweiten Weg vorführen:$$a_{n+1}\coloneqq\frac12 a_n+\frac14\quad;\quad a_0=0$$Wir zeigen mit vollständiger Induktion die folgende

Behauptung:$$a_n=\frac12\left(1-\frac1{2^n}\right)\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$

Verankerung bei \(n=0\):$$a_0=\frac12\left(1-\frac{1}{2^0}\right)=\frac12\cdot0=0\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$a_{n+1}=\frac12 a_n+\frac14\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\frac12\cdot\frac12\left(1-\frac{1}{2^n}\right)+\frac14=\frac14\left(2-\frac{1}{2^n}\right)=\frac12\left(1-\frac{1}{2^{n+1}}\right)\quad\checkmark$$

Damit konvergiert die Folge, denn:$$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\left(1-\frac1{2^n}\right)\right)=\frac12\cdot(1-0)=\frac12$$

Comments

Hallo vielen Dank für die Antwort. Ich habe zwei Fragen:

Wie kommt man auf die auf die Gleichung der Folge a_n ?

Und wie wird aus der Gleichung vor dem Gleichheitszeichen, über dem Induktionsvoraussetzung steht die darauf folgende Gleichung?

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Ja, deswegen ist das Vorgehen in meiner Antwort wohl ein bisschen intuitiver. Das Vorgehen in der Antwort hier geht davon aus, dass du den Grenzwert schon erkennst, was bei einfachen Rerkursionsfolgen wie der, welche wir hier haben, auch direkt ersichtlich ist, aber im Allgemeinen nicht so einfach ist.

Wenn du eine Vermutung für den Grenzwert einer Rekursionsfolge hast, kannst du diese eigentlich immer mit Induktion beweisen, jedoch brauchst du eben erstmal eine solche Vermutung.