Wie viele Einheiten gibt es in Z[i]??

Question

3 | Gaußsche Zahlen �
Die Teilmenge Z[i] = {a + ib ∈ C | a, b ∈ Z} ist ein Unterring von C: die Addition und die Multiplikation in C lassen sich auf Z[i] einschränken, und ausgestattet mit diesen Verknüpfungen ist Z[i] ein Ring.
Eine Zahl z ∈ Z[i] ist genau dann in Z[i] eine Einheit, also invertierbar bezüglich der Multiplikation, wenn �z� = 1 ist. Wie viele Einheiten gibt es in Z[i]? ? Zu welcher  Gruppe ist die Einheitengruppe (Z[i])× isomorph?

Answer 1

Sei \(z=a+bi\) eine Einheit und \(z^{-1}=y=c+di\) ihr Inverses, so dass also

\(z\cdot y=1\). Dann gilt \(\bar{z}\cdot \bar{y} =\overline {zy}=1\).

Das Prodiukt der Gleichungen liefert

\(z\bar{z}\cdot y\bar{y}=1\), also \((a^2+b^2)(c^2+d^2)=1\),

d.h. \(a^2+b^2=1\), folglich \(((a=\pm 1)\wedge (b=0))\vee (( a=0)\wedge (b=\pm 1))\),

also \(z\in \{\pm1,\pm i\}\)

Comments

Als Frage: kann man aus (\( a^{2} \) + \( b^{2} \))(\( c^{2} \) + \( d^{2} \)) = 1

auf jeden Fall schließen, dass \( a^{2} \) + \( b^{2} \) = 1 ist?
Und wenn ja, warum?
LG

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\(a^2+b^2\) ist eine nichtnegative ganze Zahl, und die Einheiten in

\(\mathbb{Z}\) sind +1 und -1.

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achjaa, danke
schon wieder in der schnelle übersehen, dass a,b nur in ℤ liegen xd