Vollständige Induktion mit Teiler 5

Question

Beweise durch vollständige Induktion:

Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt: \( 5 \mid\left(6^{n}-1\right) \).

Ist das richtig/falsch?

IA:

Für n=1

\( 5 \mid\left(6^{1}-1\right) \) =  \( 5 \mid\left (5) \right) \) = 1

IS:

Für n=k gilt:    \( 5 \mid\left(6^{k}-1\right) \).

Für n=k+1 gilt:   \( 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right) \).

IB:

\((6^{k+1}-1 \)) = \(6^{k} * 6^{1}-1 \)

                      = \( 5 \mid\left(6*6^{k}-1\right) \)

Answer 1

\(6^k-1=5z\Rightarrow 6^k=5z+1\Rightarrow \)

\(6^{k+1}=5z\cdot 6+6=5(6z+1)+1\Rightarrow 6^{k+1}-1=5(6z+1)\)

Comments

Danke ermanus

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Ist das jetzt der Induktionsbeweis? WIe sähe der Induktionsschritt aus

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Das ist doch der Induktionsschritt !

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achso, ich meine natürlich wie der Induktionsanfang aussieht

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Der IA ist (so wie du es vermutlich gemeint hast):

\(k=1: \; 6^1-1=5\cdot 1\), also ein "Vielfaches" von \(5\) ;-)

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Und die Induktionsbehauptung. Also der Schritt vor dem Induktionsschritt? Komme wegen dem z etwas durcheinander

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\(z\) ist eine ganze Zahl:

Dass \(5\) ein Teiler von \(6^k-1\) ist, bedeutet doch dasselbe

wie "\(6^k-1\) ist ein ganzzahliges Vielfaches von \(5\)",

hat also die Gestalt \(5z\) mit einer ganzen Zahl \(z\).

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okay danke..

Answer 2

Wenn 5|(6ⁿ-1), dann auch 5|(6ⁿ-1)·6 oder 5|(6ⁿ⁺¹-1-5).Dann gilt auch 5|(6ⁿ⁺¹-1).          

Comments

Ist das wirklich korrekt? Bei dir weiß man das manchmal nicht

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Dein Mißtrauen gegenüber meinen Ergebnissen teile ich. Aber diesmal halte ich an meiner Lösung fest.

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Okay danke für Deine Mühen. Würde aber gerne noch eine Antwort von jemand anderem abwarten wollen

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Das ist eine gute Idee.

Answer 3

Beweise durch vollständige Induktion: $$\text{Für alle } n \in \mathbb{N} \text{ gilt: } 5 \mid\left(6^{n}-1\right). $$ Induktionsanfang:
Für \(n=0\) gilt $$5 \mid\left(6^{0}-1\right)=0.$$ Induktionsvoraussetzung (oder Induktionsannahme):
Für \(n=k\) gilt $$ 5 \mid\left(6^{k}-1\right). $$ Induktionsbehauptung:
Für \(n=k+1\) gilt $$ 5 \mid\left(6^{k+1}-1\right). $$ Induktionsschluss (oder -beweis oder -schritt):
$$5 \mid \left(6^{k}-1\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k}-1\right)\cdot 6 \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-6\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1-5\right) \quad\Rightarrow\\ 5 \mid \left(6^{k+1}-1\right). $$ Induktionsanfang einen Schritt vorgezogen, Induktionsschluss nach Vorschlag von Roland, Notation nach Vorschlag des Fragers und Schema nach https://www.mathematik.de/algebra/91-erste-hilfe/verzeichnis/beweise-und-beweismethoden/713-vollstaendige-induktion.

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Vielen Dank!