Aloha :)
$$K(x;y)=3,9x^2+4,3y^2\to\text{Min!}\quad;\quad g(x;y)=x+y\stackrel!=81$$Eigentlich wäre es hier einfach, die Nebenbedingung nach \(y=81-x\) umzustellen, dies in \(K(x;y)\) einzusetzen und dann die erhaltene Funktion nach \(x\) abzuleiten. Hier soll jedoch mit Lagrange geradbeitet werden.
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbediung sein:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{7,8x}{8,6y}=\lambda\binom{1}{1}$$Um den Lagrange-Multiplkator \(\lambda\) zu elemenieren, divdieren wir die Gleichung der zweiten Koordinate durch diejenige der ersten Koordinate:$$\frac{8,6y}{7,8x}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\quad\implies\quad8,6y=7,8x\quad\implies\quad y=\frac{39}{43}\,x$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:
$$81\stackrel!=x+y=x+\frac{39}{43}x=\frac{82}{43}x\quad\implies\quad x=\frac{43\cdot81}{82}\approx\boxed{42,4756}$$$$y=81-x\approx\boxed{38,5244}$$
Die minimalen Kosten betragen \(13.418,05\) GE.
