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Aufgabe:

Die kostenfunktion zur Produktion von 2 Gütern lautet:

K(x,y)=3,9x^2 + 4,3y^2

Insgesamt werden 81 mengeneinheiten der

Güter produziert. Bestimmen Sie die koszenminimalen Produktmengen von x und y mit dem Lagrange-Verfahren.

Problem/Ansatz:

Ergebnisse sind x: 42,48 und y: 38,52, aber ich komme auf was ganz anderes, könnte jemand mir dafür die Rechnung aufzeigen,

ich bin nicht sicher wo ich den Fehler gemacht habe.

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Wenn Du Deinen Rechenweg aufschreibst, wird Dir jemand sagen können, wo der Fehler geschehen ist.

L (x,x, Lambda) = 3,9x^2+4,3y^2 + lambda * (x+y-81)


7,8x + lambda =0

8,6 y + lamda = 0

x+y-81=0


7,8x + lamda =0

-8,6y + lamda=0

=7,8x-8,6y=0

x=1,10y

Weiter kam ich nicht aber ist sowieso falsch

2 Antworten

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aber ist sowieso falsch

Wie kommst du darauf?

Da du die Ergebnisse kennst, kannst du ja mit dem Zwischenergebnis schon mal die Probe machen :

x = 1,10 * 38,52 = 42,732

Stimmt doch schon fast. Vielleicht solltest du mit dem Bruch oder mehr Nachkommastellen weiter rechnen.

Weiter kam ich nicht

Einfach die Lagrange-Funktion auch nach " lambda " ableiten und dein Zwischenergebnis einsetzen. Dann hast du eine Gleichung mit nur noch einer Unbekannten.

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Aloha :)

$$K(x;y)=3,9x^2+4,3y^2\to\text{Min!}\quad;\quad g(x;y)=x+y\stackrel!=81$$Eigentlich wäre es hier einfach, die Nebenbedingung nach \(y=81-x\) umzustellen, dies in \(K(x;y)\) einzusetzen und dann die erhaltene Funktion nach \(x\) abzuleiten. Hier soll jedoch mit Lagrange geradbeitet werden.

Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion kollinear zum Gradienten der Nebenbediung sein:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{7,8x}{8,6y}=\lambda\binom{1}{1}$$Um den Lagrange-Multiplkator \(\lambda\) zu elemenieren, divdieren wir die Gleichung der zweiten Koordinate durch diejenige der ersten Koordinate:$$\frac{8,6y}{7,8x}=\frac{\lambda\cdot1}{\lambda\cdot1}=1\quad\implies\quad8,6y=7,8x\quad\implies\quad y=\frac{39}{43}\,x$$

Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:

$$81\stackrel!=x+y=x+\frac{39}{43}x=\frac{82}{43}x\quad\implies\quad x=\frac{43\cdot81}{82}\approx\boxed{42,4756}$$$$y=81-x\approx\boxed{38,5244}$$

Die minimalen Kosten betragen \(13.418,05\) GE.

Avatar von 152 k 🚀

Ich habe schon auf diese übliche Erklärung gewartet. Der normale Wiwi-Student versteht sie nicht. Was ihrer Schönheit keinen Abbruch tut, aber er/sie versteht es nicht.

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