Wir nehmen an \( \sqrt{n} \) sei eine rationale Zahl. Dann können wir sie schreiben als
\( \sqrt{n}=\frac{a}{b} \Longleftrightarrow n=\frac{a^{2}}{b^{2}} \)
für natürliche Zahlen \( a, b \), wobei der erste Bruch ganz gekürzt sei. Wenn nun \( p \) ein Primzahlteiler von \( b \) ist, so teilt dieser \( a \) und daher auch \( a^{2} . \) Dann könnten wir den Bruch aber kürzen, und somit muss \( b=1 \) sein, denn 1 ist ja die einzige natürliche Zahl, die keine Primzahlen als Teiler hat. Das bedeutet widerum
\( n=a^{2} \)
Bemerkung: Oben haben wir die Kontraposition der Behauptung gezeigt, welche du Beweisen sollst. Auch sollte es in der Aufgabenstellung heissen: "für alle \(m \in \mathbb{N}\)"
