Hallo :-)
(b) sieht etwas unvollständig aus. Was bedeutet \(g(1,f)\)?
(a) ist falsch. Betrachte dazu
$$ f:\ \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3, \ \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&3\\0&0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+b\\b+3c\\2c\end{pmatrix} $$
Durch Nachrechnen erhält man, dass \(1\) Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor \(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\) sowie \(2\) Eigenwert mit zugehörigem Eigenvektor \(\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\) von \(f\) sind.
Setze nun
$$U:=\text{span}\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\right).$$
Dann ist mit \(u:=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\in U\) auch
$$ f(u)=f\left(\begin{pmatrix}\alpha+3\cdot \beta\\3\cdot \beta\\\beta\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}(\alpha+3\cdot \beta)+3\cdot \beta\\3\cdot \beta+3\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\alpha+6\cdot \beta\\6\cdot \beta\\2\cdot \beta\end{pmatrix}\\=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot \beta\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U, $$
sodass \(U\) ein \(f\)-invarianter Unterraum ist.
Betrachte nun mit \(v=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot \begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}\in U\) den Vektor
$$ f(v)=f\left(\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}4+3\\3+3\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}. $$
Dann gilt für alle \(\lambda\in \mathbb{R}\) stets \(f(v)=\begin{pmatrix}7\\6\\2\end{pmatrix}\neq \lambda\cdot \begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}=\lambda\cdot v\), sodass \(v=\begin{pmatrix}4\\3\\1\end{pmatrix}\) kein Eigenvektor von \(f\) ist.
