Ich bin bereits selber auf eine Antwort gekommen:
$$\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k*r^k}{1+r^{4k}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k}{\frac{1}{r}+r^{3k}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}k*(\frac{1}{\frac{1}{r}+r^{2}})^{k}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}k*(\frac{r}{1+r^{3}})^{k}$$
$$=\sum \limits_{k=1}^{\infty}k*q^{k} \text{ mit }q=\frac{r}{1+r^{3}}$$
$$\text{ Ist das Cauchyprodukt einer geometrischen Reihe mit sich selbst } $$
$$=>\sum \limits_{k=1}^{\infty}\frac{k*r^k}{1+r^{4k}}=\frac{1}{1-q^2}=\frac{1}{1-\frac{r}{1+r^3}}\text{ wenn }|\frac{r}{1+r^3}|\lt1$$
$$\text{ Da die geometrische Reihe absolut konvergiert konvergiert auch diese Reihe absolut.}$$
